6.2.5 Betragsfunktionen
In Modul 2 Gleichungen in einer Unbekannten wurde der Betrag einer reellen Zahl auf folgende Art eingeführt:
Im Kontext dieses Moduls kann der Betrag nun als Funktion aufgefasst werden. Man erhält die Betragsfunktion
Aufgabe 6.2.6
Was ist die Wertemenge der Betragsfunktion ?
Durch die Fallunterscheidung
ist die Betragsfunktion ein Beispiel für eine abschnittsweise definierte Funktion. Schreibt man Beträge mit Hilfe dieser Fallunterscheidung um, so spricht man auch vom Auflösen des Betrags. Der Graph der Betragsfunktion sieht dann so aus:
Eine Eigenschaft des Graphen der Betragsfunktion, die auch bei den meisten allgemeineren Funktionen auftritt, in denen ein Betrag vorkommt, ist der „Knick" an der Stelle . Die oben definierte Betragsfunktion ist nur der einfachste Fall einer Funktion, in der der Betrag vorkommt. Man kann sich kompliziertere Beispiele von Funktionen überlegen, in denen ein Betrag oder mehrere Beträge vorkommen, so etwa
Eine wichtige Aufgabe bei solchen gegebenen Funktionen ist, eine Vorstellung von deren Graphen zu bekommen. Dabei benutzt man die abschnittsweise Definition des Betrags und geht ähnlich vor wie beim Lösen von Betragsgleichungen und -ungleichungen. Wir zeigen dies hier am Beispiel obiger Funktion :
Beispiel 6.2.7
Die Funktion
ist gegeben. Wie sieht ihr Graph aus?
Wir berechnen:
Somit erhalten wir eine abschnittsweise definierte Funktion, deren Graph eine steigende Gerade mit Steigung und Achsenabschnitt im Bereich und eine fallende Gerade mit Steigung und Achsenabschnitt im Bereich ist. Mit diesen Informationen können wir den Graphen von zeichnen:
Info 6.2.8
WICHTIG! Beim Auflösen von Beträgen wie in der Rechnung in obigem Beispiel sind folgende zwei wichtige Rechengesetze zu beachten:
- Die Bereiche der Fallunterscheidung des Betrags ergeben sich als Ungleichungen für den gesamten Ausdruck im Betrag, hier also und und nicht etwa nur und . Dies funktioniert beim Auflösen von Beträgen immer so.
- Im Fall erhält der gesamte Ausdruck im Betrag ein Minuszeichen. Hier muss also auf das Setzen einer Klammer geachtet werden. Im obigen Beispiel ergibt sich deshalb und nicht etwa . Auch dies funktioniert beim Auflösen von Beträgen immer so.
Aufgabe 6.2.9
Wie sieht der Graph der Funktion
aus? Geben Sie außerdem an.
Lösung
Es gilt
folglich:
Da gilt, folgt und damit ist .