6.2.8 Hyperbeln

Wir betrachten Funktionen, die als Abbildungsvorschrift einen reziproken Zusammenhang besitzen. Darunter versteht man das Vorkommen von Kehrwerten in der Abbildungsvorschrift. Zu beachten ist bei der Bestimmung des größtmöglichen Definitionsbereichs solcher Funktionen, dass der Nenner nicht werden darf.

Beispiele reziproker Funktionen sind im Folgenden zusammengestellt; diese ergeben sich als Kehrwerte der Monome und werden auch als Funktionen vom hyperbolischen Typ bezeichnet:

usw. Ihre Graphen sehen so aus:

Insbesondere der Graph der Funktion

wird als Hyperbel bezeichnet.

Allgemein kann man für den Kehrwert eines beliebigen Monoms vom Grad also eine entsprechende Funktion hyperbolischen Typs angeben:

Aufgabe 6.2.14

Wie lautet die Wertemenge der Funktion für gerade bzw. für ungerade ?

Lösung

Stets gilt , da ein Quotient nur Null werden kann, wenn der Zähler Null wird. Folglich kommt nie in der Wertemenge vor. Da stets für gerade gilt, folgt für gerade . Für ungerade kann allerdings auch sein. Es ergibt sich

Dies ist auch aus den Graphen der Funktionen vom hyperbolischen Typ ersichtlich.

Weitere Beispiele für Funktionen vom hyperbolischen Typ haben wir bereits in Beispiel 6.1.3 Funktionen in Mathematik und Anwendungen und Aufgabe 6.1.3 Funktionen in Mathematik und Anwendungen in Abschnitt 6.1.3 Funktionen in Mathematik und Anwendungen betrachtet.