6.2.6 Monome

Neben den affin-linearer Funktionen aus dem vorigen Abschnitt kann man sich nun auch Funktionen überlegen, die allen reellen Zahlen natürliche Potenzen ihrer selbst zuordnen. So zum Beispiel

Dies funktioniert für jeden natürlichen Exponenten und man schreibt dann allgemein

mit und bezeichnet diese Funktionen als Monome. Der Exponent eines Monoms wird als Grad des Monoms bezeichnet. So ist etwa die Funktion vom Anfang dieses Abschnitts ein Monom vom Grad , usw.

Aufgabe 6.2.10

Welche Funktion ergibt sich als Monom vom Grad bzw. vom Grad ?

Lösung

Da für alle gilt, ergibt sich die Identität als Monom vom Grad . Genauso gilt für alle und damit ist die konstante Funktion , das Monom vom Grad .

Man bezeichnet das Monom vom Grad auch als die Standardparabel. Das Monom vom Grad wird auch als kubische Standardparabel bezeichnet. Hier einige Graphen von Monomen:

Auf Basis dieser Graphen fassen wir nun einige Erkenntisse über Monome zusammen: Es gibt einen grundlegenden Unterschied zwischen Monomen (mit Abbildungsvorschrift , ) von geradem und von ungeradem Grad. Die Monome von geradem Grad größer Null haben als Wertebereich immer die Menge , während die Monome von ungeradem Grad ganz als Wertebereich besitzen. Weiterhin gilt stets

und

Ferner gilt

Aufgabe 6.2.11

Wie ergeben sich diese Erkenntnisse über Monome unmittelbar aus den Potenzrechengesetzen?

Lösung

Nach den Potenzrechengesetzen gilt stets und für beliebige natürliche Zahlen und für gerade sowie für ungerade . Dadurch ergeben sich die beschriebenen Punkte, die alle Graphen der Monome gemeinsam haben. Auch die Ungleichungen für positive kleiner und für größer folgen aus den Potenzrechengesetzen, da höher werdende Potenzen für positive Zahlen kleiner stets kleiner werdende Ergebnisse liefern und für Zahlen größer umgekehrt stets größer werdende Ergebnisse.