6.2.10 Asymptoten

Wir wollen in diesem Abschnitt untersuchen, wie sich gebrochenrationale Funktionen im Unendlichen verhalten, falls der Zählergrad kleiner oder gleich dem Nennergrad ist. Ein Beispiel ist die Funktion

In ist der Zählergrad und der Nennergrad . Beispiele hierfür haben wir im vorhergehenden Abschnitt 6.2.9 Gebrochenrationale Funktionen betrachtet.

Beispiel 6.2.21

Wir betrachten die Funktion

und stellen fest, dass ihre Abbildungsvorschrift in der Form einer Summe aus einem Polynom (vom Grad ) und einem gebrochenrationalen Term vorliegt. Durch Bilden des Hauptnenners ist es nun einfach, auf eine gebrochenrationale Form zu bringen, in der der Zählergrad und der Nennergrad gleich sind:

Wir können also auch schreiben als

und betrachten den zugehörigen Graphen:

Neben der Polstelle und Definitionslücke bei erkennen wir, dass der Wert eine besondere Rolle spielt. Dieser wird offenbar von der Funktion nie angenommen. Für die Wertemenge von gilt . Stattdessen nähert sich für „sehr große" und „sehr kleine" Werte der Variablen immer stärker dem Wert an, ohne diesen jemals für eine reelle Zahl zu erreichen.

Dies erkennt man in der Abbildungsvorschrift folgendermaßen. Für „sehr große" (, , , usw.) oder „sehr kleine" (, , , usw.) Werte für nähert sich der gebrochenrationale Anteil immer mehr der an, da dort im Nenner vorkommt. Tendenziell bleibt also für solche Werte nur noch der polynomielle Anteil aus der Abbildungsvorschrift übrig. Dieser Anteil kann nun durch eine – in diesem Fall konstante – Funktion beschrieben werden, die als Asymptote der Funktion bezeichnet wird:

Da es sich in diesem Fall um eine konstante Funktion handelt, wird diese auch als waagrechte Asymptote bezeichnet.

Aufgabe 6.2.22

Bestimmen Sie die Asymptote der Funktion

sowie die Asymptote der Hyperbel aus Abschnitt 6.2.8 Hyperbeln.

Lösung

Es gilt

mit gebrochenrationalem Anteil . Folglich hat die waagrechte Asymptote von die Abbildungsvorschrift . Die Hyperbel

besitzt auch eine Asymptote. Wir können die Abbildungsvorschrift schreiben als

womit für die Asymptote gilt . Hier ist die Asymptote also diejenige Funktion, die konstant ist: die Nullfunktion bzw. die -Achse des Koordinatensystems.

Info 6.2.23

Eine gebrochenrationale Funktion mit Zählerpolynom vom Grad und Nennerpolynom vom Grad der Form

hat als Asymptote eine konstante Funktion (bzw. eine waagrechte Asymptote) falls gilt. Insbesondere ist die Nullfunktion die Asymptote im Fall .