Onlinebrückenkurs Mathematik

11.2.4 Stetige Verzinsung

Der Ausdruck mit lässt sich in Abhängigkeit von auch auffassen als Abbildung
Eine Abbildung nennt man eine reelle Zahlenfolge. Die Paare für lassen sich interpretieren als Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. Im folgenden Bild ist die Folge in diesem Sinn als Punktfolge in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt:
exp1.png
An diesem Bild erkennt man zwei Eigenschaften dieser Folge:
  • Die Folge , , ist monoton wachsend, d.h. aus folgt für .
  • Die Folge nähert sich für wachsende beliebig genau einem Wert an. Diese Zahl nennt man den Grenzwert der Folge und man schreibt
In der Vorlesung Mathematik 1 wird die natürliche Exponentialfunktion
vollständig eingeführt.
exp2.png Die natürliche Exponentialfunktion.
Dort wird die folgende Aussage gezeigt:
Info 11.2.19
Für beliebiges gilt
Für ergibt dieser Grenzwert die Eulersche Zahl, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783):
Man kann zeigen (schwierig), dass die Eulersche Zahl eine irrationale Zahl ist und sich daher nicht als Bruch schreiben lässt.
Die Exponentialfunktion erfüllt die Potenzgesetze für beliebige reelle Zahlen als Exponenten:
  • für .
  • für .
Mit Hilfe der Exponentialfunktion und dem Zusammenhang mit der Folge kann man Informationen über den Verzinsungsvorgang erhalten wenn die Anzahl der Zeitpunkte sehr groß wird: Das Kapital wird jährlich mit einem Faktor multipliziert, wenn die Zinsen mit der Rate dem Anfangskapital an verschiedenen Zeitpunkten des Jahres gutgeschrieben werden. Nach Jahren, , ist das Kapital angewachsen auf
Für ergibt sich der Grenzwert
Bei wachsendem werden die Zinsen immer häufiger gutgeschrieben:
Info 11.2.20
Den Grenzfall nennt man den Fall stetiger Verzinsung. Die Formel
gibt für positive reelle Zahlen an, auf welchen Betrag ein Kapital nach Jahren bei stetiger Verzinsung angewachsen ist, wenn der jährliche Zinssatz ist.
Beispiel 11.2.21
Ein Guthaben von EUR wird auf einem Konto bei einem jährlichen Zinssatz von und stetiger Verzinsung angelegt. Nach Jahren ergibt sich dann ein Guthaben von