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11.2.3 Zinsrechnung

In der Zinsrechnung unterscheidet man die einfache Verzinsung und die Zinseszinsrechnung. Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen am Ende der jeweiligen Zinsperioden ausgezahlt. Dagegen werden bei der Verzinsung mit Zinseszins die Zinsen wiederum verzinst.
Info 11.2.9
Eine Größe , die jedes Jahr um anwächst, wird bei einfacher Verzinsung nach Jahren, , auf
anwachsen.
Dabei ist zu beachten, dass selbst eine Zahl mit Nachkommastellen sein kann, beispielsweise . Dann ist der Prozentwert. Gebräuchlich ist in diesem Zusammenhang die Abkürzung p. a. (von lat. per anno in Deutsch pro Jahr) direkt nach der Zinsrate, was lediglich angibt, dass die Verzinsung jährlich wächst.
Aufgabe 11.2.10
Welches Endkapital ergibt sich bei einfacher Verzinsung in Höhe von p. a. nach Jahren Laufzeit bei einem Anfangskapital von EUR?
Antwort: EUR.
Einsetzen der entsprechenden Werte in die Zinsformel für die einfache Verzinsung ergibt
Aufgabe 11.2.11
Welcher Betrag hätte am 1.1.2000 einbezahlt werden müssen, um bei einfacher Verzinsung zu p. a. am 31.12.2011 ein Kapital von EUR zu erhalten?
Antwort: EUR.
Einsetzen der entsprechenden Werte in die Zinsformel für die einfache Verzinsung ergibt
Löst man diese Gleichung nach auf, so ergibt sich
Während bei der einfachen Verzinsung die Zinsen ausgezahlt werden, verzinst man diese bei der Zinseszinsrechnung in der folgenden Zinsperiode mit, d.h. die Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen bzw. kapitalisiert:
Beispiel 11.2.12
Auf einem Bankkonto werde ein Guthaben von Euro zu Zinsen am Ende des Anlagejahres angelegt. Nach einem Jahr beträgt das Guthaben auf dem Konto (in EUR)
  • .
  • Das Guthaben werde ein weiteres Jahr zum selben Zinssatz von angelegt. Dann beläuft sich das Gesamtguthaben nach zwei Jahren (in EUR) auf .
  • Jedes Jahr wächst das Guthaben um den Faktor . Folglich beträgt das Guthaben (in EUR) nach Jahren ()
Die Zinsenszinsrechnung basiert daher auf folgender Formel:
Info 11.2.13
Eine Größe , die jedes Jahr um anwächst, wird nach Jahren () auf
anwachsen. Dabei wird der Wachstumsfaktor für ein Wachstum von genannt.
In einer Werbung, die Sparkonten oder Kredite anbietet, wird der Zins gewöhnlich als jährliche Rate angegeben, auch dann, wenn die aktuelle Zinsperiode verschieden davon ist. Diese Zinsperiode ist die Zeit, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten liegt, zu denen Zinszahlungen fällig sind. Für einige Sparkonten ist die Zinsperiode ein Jahr, aber es wird üblicher, andere Zinsperioden anzubieten. So werden z.B. bei Spareinlagen die Zinsen täglich oder monatlich gutgeschrieben. Falls eine Bank eine jährliche Zinsrate von mit monatlicher Zinsgutschrift anbietet, so werden des Kapitals am Ende eines jeden Monats dem Konto gutgeschrieben. Der Zinssatz wird mit bezeichnet und die Zinsrate mit .
Info 11.2.14
Die jährliche Rate muss dividiert werden durch die Anzahl der Zinsperioden , um die periodische Rate , das ist der Zinssatz pro Periode, zu erhalten.
Angenommen eine Kapitalanlage von EUR bringt Zinsen pro Periode ein. Nach Perioden () wird das Kapital auf den Betrag
angewachsen sein. In jeder Periode wächst das Kapital um den Faktor . Es werde angenommen, dass die Zinsen zur Rate , also dem Kapital zu verschiedenen Zeitpunkten, die mehr oder weniger gleichmäßig über das Jahr verteilt sind, gutgeschrieben werden. Dann wird das Kapital jedes Jahr mit einem Faktor
multipliziert. Nach Jahren ist das Kapital angewachsen auf
Beispiel 11.2.15
Ein Guthaben von EUR wird für Jahren auf einem Konto angelegt zu einem jährlichen Zinssatz von , wobei die Zinsen vierteljährlich gutgeschrieben werden. Die periodische Rate ist in diesem Fall
und für die Anzahl der Perioden ergibt sich . Damit wächst das Guthaben nach Jahren auf
Aufgabe 11.2.16
Ein Kapital von EUR wird Jahre zu p.a. und Zinskapitalisierung angelegt.
  1. Die Höhe des Kapitals nach einem Jahr ist .
  2. Die Höhe des Kapitals nach zwei Jahren ist .
  3. Die Höhe des Kapitals nach drei Jahren ist .
  4. Die Höhe des Endkapitals ist .
Geben Sie alle Werte mathematisch gerundet auf zwei Nachkommastellen an, runden Sie erst nach Ausführung der Rechenoperationen. Sie können für diese Aufgabe einen Taschenrechner einsetzen.
Einsetzen in die Zinseszinsformel ergibt die Werte
wobei es wegen der Fehlerfortpflanzung bei Rundung notwendig ist, erst die Potenz auszurechnen und dann zu runden. Es ist beispielsweise nicht richtig, die gerundeten Jahreswert mit zu multiplizieren um zu erhalten.
Ein Verbraucher, der einen Kredit aufnehmen möchte, steht möglicherweise vor mehreren Angeboten konkurrierender Geldinstitute. Es ist daher von großer Bedeutung, die verschiedenen Angebote zu vergleichen.
Beispiel 11.2.17
Betrachtet wird ein Angebot mit einem jährlichen Zinssatz von , wobei Zinsen zur Rate monatlich, also -mal im Jahr, berechnet werden. Wenn zwischenzeitlich keine Zinsen abgezahlt werden, wird eine Anfangsschuld nach einem Jahr anwachsen auf eine Schuld
Die zu zahlenden Zinsen sind ungefähr
Die Schuld wird, solange keine Zinsen zwischenzeitlich abgezahlt werden, mit einer konstanten proportionalen Rate wachsen, die ungefähr pro Jahr beträgt. Aus diesem Grund spricht man vom effektiven jährlichen Zinssatz. Im Beispiel beträgt der effektive jährliche Zinssatz (im Unterschied zu den jährlichen Zinssatz von ).
Info 11.2.18
Wenn die Zinsen -mal im Jahr zum Zinssatz pro Periode gutgeschrieben werden, so ist der effektive jährliche Zinssatz definiert durch