7.3.4 Verkettung von Funktionen
Zum Abschluss wird die Verkettung (Modul 6 Elementare Funktionen, Abschnitt 6.6.3 Summen, Produkte, Verkettungen) von Funktionen untersucht: Was passiert, wenn eine Funktion (die innere Funktion) in eine andere Funktion (die äußere Funktion) sozusagen eingesetzt wird? Eine solche Verkettung wird in der Mathematik durch die Schreibweise mit dargestellt. Dies bedeutet, dass zunächst der Wert einer Funktion in Abhängigkeit von der Variable bestimmt wird. Dieser so berechnete Wert wird dann als Argument der Funktion verwendet. Auf diese Weise entsteht der endgültige Funktionswert .
Info 7.3.7
Kettenregel
Die Ableitung der Funktion mit kann mit der Kettenregel bestimmt werden; es gilt:
Hierbei ist so zu verstehen, dass man als Funktion von auffasst und dementsprechend nach differenziert; anschließend wertet man für aus. Hilfreich ist der Merksatz: Ableitung der Verkettung ist äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Diese Ableitungsregel soll anhand einiger Beispiele verdeutlicht werden:
Beispiel 7.3.8
Gesucht wird die Ableitung der Funktion mit . Soll die Kettenregel angewendet werden, sind eine innere und eine äußere Funktion zu identifizieren. Setzt man für die innere Funktion den Funktionsterm , dann ist die äußere Funktion durch gegeben. Damit gilt wie verlangt .
Ableiten der inneren Funktion nach liefert . Für die äußere Ableitung differenziert man nach und findet . Einsetzen dieser Zwischenergebnisse in die Kettenregel führt auf die Ableitung der Funktion mit:
Als zweites Beispiel soll die Ableitung von mit berechnet werden. Dazu bieten sich die Zuordnungen für die innere Funktion und für die äußere Funktion an. Die Bestimmung der inneren und der äußeren Ableitung führt auf und . Setzt man beides in die Kettenregel ein, erhält man die Ableitung der Funktion :