7.3.3 Produkt und Quotient von Funktionen
Info 7.3.3
Produkt- und Quotientenregel
Auch das Produkt von Funktionen, mit , ist differenzierbar, und es gilt die Produktregel
Der Quotient von Funktionen, mit , ist für alle mit definiert und differenzierbar, und es gilt die Quotientenregel
Auch diese Rechenregeln sollen anhand einiger Beispiele veranschaulicht werden:
Beispiel 7.3.4
Gesucht ist die Ableitung von mit . Anwenden der Produktregel mit (z.B.) und führt auf und . Werden diese Teilergebnisse mit der Produktregel zusammengesetzt, dann resultiert die Ableitung der Funktion :
Als Nächstes soll die Tangensfunktion mit () untersucht werden. Durch Vergleich mit der Quotientenregel liest man und ab. Mit und können die Teilergebnisse mit Hilfe der Quotientenregel zur Ableitung der Funktion zusammengefügt werden; es folgt:
Dieses Ergebnis lässt sich zu einem der folgenden Ausdrücke zusammenfassen:
Für das letzte Gleichheitszeichen wurde der in Modul 5 Geometrie (Abschnitt 5.6.2 Trigonometrie am Dreieck) besprochene Zusammenhang verwendet.
Aufgabe 7.3.5
Berechnen Sie die Ableitung von mit , indem Sie dieses Produkt in zwei Faktoren zerlegen, die Ableitungen bilden und diese mit Hilfe der Produktregel zusammensetzen:
- Der linke Faktor führt auf .
- Der rechte Faktor führt auf .
- Für das Produkt gilt daher .
Aufgabe 7.3.6
Berechnen Sie die Ableitung von mit , indem Sie diesen Quotienten in Zähler und Nenner zerlegen, die Ableitungen bilden und diese mit Hilfe der Quotientenregel zusammensetzen:
- Der Zähler führt auf .
- Der Nenner führt auf .
- Für den Quotienten gilt .