Onlinebrückenkurs Mathematik

6.4.2 Inhalt

Im vorangegangen Beispiel tritt eine Exponentialfunktion zur Basis auf, die Veränderliche - im Beispiel - erscheint im Exponenten. Wir wollen nun die allgemeine Abbildungvorschrift für Exponentialfunktionen zu einer beliebigen Basis angeben; dabei setzen wir allerdings voraus:
Dabei bezeichnen und sogenannte Parameter der Exponentialfunktion, auf die wir weiter unten eingehen werden.
Der Definitionsbereich aller Exponentialfunktionen wird von allen reellen Zahlen gebildet, , wohingegen der Wertebereich nur aus den positiven reellen Zahlen besteht (), da jedwede Potenz einer postiven Zahl nur positiv sein kann.
Aufgabe 6.4.2
Warum setzt man bei den Exponentialfunktionen voraus, dass die Basis größer Null sein soll?
Eine Exponentialfunktion soll nicht nur für ausgewählte, spezielle oder isolierte Werte der Variablen definiert sein, sondern, wenn möglich, für alle reellen Zahlen. Würde man negative Basiswerte zulassen, so würden sofort Probleme beim Wurzelziehen - siehe etc. - auftreten. Zum Beispiel sind Quadratwurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert, vergleiche auch Abschnitt 6.3 Potenzfunktionen.
Einige generelle Eigenschaften von Exponentialfunktionen können wir im folgenden Bild erkennen, in dem Exponentialfunktionen , für verschiedene Werte von gegenübergestellt sind:
expo_vgl.png
  • Alle diese Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt : Dies gilt, da und für jede Zahl .
  • Ist , so steigt der Graph von von links nach rechts (also für wachsende -Werte) an; man sagt auch, dass die Funktion streng monoton wachsend ist. Je größer der Wert für ist, desto schneller wächst für positive -Werte. Geht man von rechts nach links (also zu immer größeren negativen -Werten), so bildet die negative -Achse eine Asymptote des Graphen.
  • Ist , so fällt der Graph von von links nach rechts (also für wachsende -Werte) ab; man sagt auch, dass die Funktion streng monoton fallend ist. Je größer der Wert für ist, desto langsamer fällt für negative -Werte. Geht man von links nach rechts (also zu immer größeren positiven -Werten), so bildet die positive -Achse eine Asymptote.
Und was hat es nun noch mit den Parametern und auf sich? Der Parameter ist schnell erklärt: Setzt man den Wert für die Veränderliche in die allgemeinen Exponentialfunktionen ein,
so erkennt man, dass eine Art Start- oder Anfangswert darstellt (zumindest falls man die Variable zeitlich interpretiert); der exponentielle Verlauf wird generell mit dem Faktor multipliziert und dementsprechend gewichtet, d.h. gestreckt (für ) bzw. gestaucht (für ).
Der Parameter im Exponenten heißt Wachstumsrate; er bestimmt, wie stark die Exponentialfunktion - bei gleichbleibender Basis - wächst (für ) oder fällt (für ). Insgesamt nennen wir Wachstumsfaktor.
Aufgabe 6.4.3
Begründen Sie die Form der Exponentialfunktion , die im Beispiel 6.4.1 Einführung auftritt!
In jeder Verdopplungszeitspanne von Minuten verdoppelt sich - wie der Name schon sagt - die Bakterienpopulation. Jeweils bezogen auf den Ausgangswert ( Bakterien) hat sich also die Anzahl an Bakterien nach einer Zeitspanne von Minuten verdoppelt, nach zwei solchen Zeitspannen vervierfacht, nach Minuten verachtfacht (immer - wie erwähnt - im Vergleich zum Anfangswert) usw. Daran erkennen wir, dass bei dem Wachstumsprozess er-Potenzen involviert sind; dementsprechend wählen wir als Basis für den funktionalen Zusammenhang .
Diese Überlegung legt auch den Exponenten der gesuchten Exponentialfunktion fest: Unsere Zeitmessung muss sich auf die -Minuten-Zeitspanne beziehen, der Exponent ist daher . Nach Minuten ergibt sich somit für den Exponenten . Der Wachstumsfaktor ergibt sich zu . Nach zwei Zeitspannen (gleich Minuten) ist der Exponent und damit der Wachstumsfaktor insgesamt usw.
Schließlich müssen wir noch mit dem richtigen Anfangswert ( Bakterien) gewichten; dies geschieht mit Hilfe des Faktors .