10.2.4 Lagebeziehung von Geraden und Ebenen im Raum

Die Geraden und sind identisch. Die beiden Richtungsvektoren von und von sind kollinear. Es gilt Außerdem ist der Punkt, welcher durch den Ortvektor beschrieben wird, in (als Aufpunkt) und enthalten, denn für gilt: Also ergibt sich in für den Parameterwert .

Die Geraden und (und damit natürlich auch und ) sind parallel. Die beiden Richtungsvektoren von und von sind kollinear. Es gilt Allerdings haben und keine Punkte gemeinsam. Dies sieht man in diesem Fall folgendermaßen: Der Aufpunkt einer der beiden Geraden ist kein Punkt auf der anderen Geraden. Dann haben die beiden Geraden gar keine gemeinsamen Punkte. Hier kann man zum Beispiel testen, ob sich der Aufpunktvektor der Gerade als Ortsvektor der Gerade ergeben kann: In dieser Vektorgleichung ergäbe sich in der ersten Komponente und in der zweiten Komponente , was bereits ein Widerspruch ist. Folglich haben die beiden Geraden keine gemeinsamen Punkte.

Die Geraden und schneiden sich. Zunächst sind für diese beiden Geraden die Richtungsvektoren und nicht kollinear. Es gibt keine Zahl , so dass gilt, denn für die erste Komponente müsste und für die zweite Komponente gelten, was bereits ein Widerspruch ist. Allerdings haben die beiden Geraden einen gemeinsamen Punkt, den man durch Gleichsetzen der Ortsvektoren für und findet: Hier führen die ersten beiden Komponenten zu den Gleichungen für und , woraus man und berechnet. Dies eingesetzt in die dritte Komponente ergibt Die Vektorgleichung für die Ortsvektoren ist also für die Parameterwerte und erfüllt. Folglich ergibt sich der Ortsvektor des Schnittpunkts für den Parameterwert in der Gerade oder auch für den Parameterwert in der Gerade . Man erhält als Schnittpunkt den Punkt .

Die Geraden und (und damit natürlich auch und ) sind windschief. Auch in diesem Fall erhält man analog zum Fall mit Schnittpunkt oben recht schnell, dass die beiden Richtungsvektoren von und von nicht kollinear sind. Nun haben die beiden Geraden aber keinen gemeinsamen Punkt, was man wieder durch Gleichsetzen der Ortsvektoren findet: Diese Vektorgleichung ist widersprüchlich, das heißt man findet keine Parameterwerte und , die sie erfüllen, und folglich haben und keine gemeinsamen Punkte. Die erste und die zweite Komponente führen auf die beiden Gleichungen woraus man und berechnet. Setzt man dies aber in die dritte Komponente ein, so ergibt sich der Widerspruch

Die beiden Geraden und schneiden sich im Punkt (vgl. Aufgabe 10.2.4 Lagebeziehung von Geraden und Ebenen im Raum). Dadurch wird eine Ebene eindeutig festgelegt, die sowohl als auch beinhaltet. Für eine Parameterform von benutzt man die Ortsvektoren von drei geeigneten Punkten, die man aus den Geraden und berechnet. Der Schnittpunkt eignet sich als Aufpunkt von mit dem Aufpunktvektor Dann ergeben sich noch Ortsvektoren von zwei Punkten und dadurch, dass man zum Beispiel die Parameterwerte und in die Parameterformen der Geraden einsetzt: Dies ergibt die Richtungsvektoren und Somit ist eine mögliche Parameterform von durch gegeben.

Die beiden Geraden und sind parallel (vgl. Aufgabe 10.2.4 Lagebeziehung von Geraden und Ebenen im Raum). Dadurch wird eine Ebene eindeutig festgelegt, die sowohl als auch beinhaltet. Für eine Parameterform von benutzt man die Ortsvektoren von drei geeigneten Punkten, die man aus den Geraden und berechnet. Es eignen sich die Ortsvektoren von Punkten auf bzw. , die sich für drei Parameterwerte ergeben, zum Beispiel , und : dient als Aufpunktvektor. Dann erhält man sofort unter Benutzung von dass für den ersten Richtungsvektor der Ebene genau der Richtungsvektor von benutzt werden kann. Der zweite Richtungsvektor der Ebene ergibt sich aus dem Ortsvektor eines Punktes auf für den Parameterwert , also den Aufpunkt von : Und folglich ist der zweite Richtungsvektor von . Eine Parameterform von ist also gegeben durch

Eine Gerade, die den Vektor als Richtungsvektor aufweist, liegt entweder in der Ebene oder ist zu dieser parallel, da zu den beiden Richtungsvektoren von komplanar ist. Man findet aus der Bedingung die Zahlen und . Folglich liegt die Gerade in der Ebene , denn der Aufpunkt liegt in , da man berechnet: Der Ortsvektor der Geraden ergibt sich also für die Parameterwerte in der Ebene. Demhingegen ist die Gerade parallel zu Ebene , denn weist als Aufpunkt den Ursprung auf. Der Ursprung liegt aber nicht in , denn für die Vektorgleichung gibt es keine Parameterwerte und , die diese erfüllen. Die erste Komponente würde implizieren und die zweite Komponente ; ein Widerspruch.

Jede Gerade mit einem Richtungsvektor, der nicht komplanar zu den beiden Richtungsvektoren und von ist, schneidet die Ebene in genau einem Punkt. Ein Beispiel einer solchen Geraden ist Der Richtungsvektor ist nicht komplanar zu und , denn die Bedingung ist durch keine Zahlen erfüllbar. Die erste Komponente würde und die zweite implizieren; ein Widerspruch. Nun kann durch Gleichsetzen der Ortsvektoren der Geraden und der Ebene der Schnittpunkt der beiden berechnet werden: Interessiert man sich nur für den Schnittpunkt, so genügt es den Parameterwert der Geraden zu bestimmen, für den diese Vektorgleichung erfüllt ist. Der Ortsvektor des Schnittpunkts ergibt sich dann durch Einsetzen des bestimmten Parameterwerts in die Gerade. Die ersten beiden Komponenten dieser Vektorgleichung liefern zwei Gleichungen für die Unbekannten und : woraus man erhält. Damit hat der Schnittpunkt den Ortsvektor

Die Ebenen und sind parallel. Die Richtungsvektoren und von und der erste Richtungsvektor von sind komplanar, denn die Bedingung ist durch die Zahlen erfüllt. Genauso sind die Richtungsvektoren und von und der zweite Richtungsvektor von sind komplanar, denn die Bedingung ist durch die Zahlen und erfüllt. Weiterhin ist der Aufpunkt von nicht in enthalten, denn die Bedingung ist für keine Parameterwerte und erfüllbar. Aus der zweiten Komponente würde folgen, was eingesetzt in die erste Komponente auf führt. Dies ergibt aber in der dritten Komponente den Widerspruch . Würde man allerdings in einen anderen Aufpunkt wählen, der in enthalten ist, zum Beispiel den gleichen Aufpunkt wie in , so würde man eine zu identische Ebene erhalten, also eine andere Parameterdarstellung der gleichen Ebene. Zum Beispiel ist eine solche Ebene.

Die Ebenen und schneiden sich. Beide Richtungsvektoren und von sind nicht komplanar zu den beiden Richtungsvektoren und von . Zum Beispiel gilt für den zweiten Richtungsvektor von , dass die Bedingung durch keine Zahlen und erfüllbar ist. Die ersten beiden Komponenten würden erzwingen, was der dritten Komponente widerspricht. Die Schnittgerade der beiden Ebenen berechnet man durch Gleichsetzen der Ortsvektoren. Man erhält hier: Diese Vektorgleichung entspricht einem System von drei linearen Gleichungen mit den vier Unbekannten , , und . Dies wird nun mit den Methoden aus Abschnitt 4.4 Allgemeinere Systeme gelöst, indem man eine der Unbekannten als Parameter auffasst und die anderen Unbekannten in Abhängigkeit von diesem berechnet. Dieser übrige Parameter wird am Ende der Parameter in der Punkt-Richtungsform der zu bestimmenden Schnittgeraden werden. Welche der Unbekannten man als Parameter auffasst, ist egal. Hier wird nun als Parameter benutzt. Dann führen die ersten beiden Komponenten der Vektorgleichung auf die beiden Gleichungen aus denen man und berechnet. Dies in die dritte Komponente eingesetzt ergibt Nun kann oder und in die Ebene oder eingesetzt werden; dies führt – bei gleicher Parameterwahl – auf dieselbe Parameterdarstellung der Geraden , nämlich der Schnittgeraden der beiden Ebenen. Für das Einsetzen in ergibt sich: