9.2.3 Lagebeziehungen von Geraden

Während es im vorigen Abschnitt 9.2.2 Koordinatengleichungen für Geraden darum ging, Geraden mittels Koordinatengleichungen zu beschreiben und Gleichungen für Geraden, die mittels vorgegebener Daten festgelegt sind, zu finden, widmet sich dieser Abschnitt der Untersuchung der relativen Lage von Geraden, welche durch Gleichungen vorgegeben sind, zueinander und zu weiteren gegebenen Punkten. Letzteres ist relativ einfach, da ein Punkt nur auf einer Gerade liegen kann oder nicht:

Info 9.2.12

Ist

eine Gerade und ein Punkt im , so liegt genau dann auf der Geraden (), wenn seine Abszisse und Ordinate die Geradengleichung erfüllen, also wenn

gilt.

Mit Hilfe einer Geradengleichung kann man also testen, ob Punkte auf der Geraden liegen oder nicht.

Beispiel 9.2.13

Für die Gerade

gilt zum Beispiel, dass auf liegt, da und die Geradengleichung erfüllen:

Allerdings liegt zum Beispiel nicht auf , da und die Geradengleichung nicht erfüllen:

Bild hierzu:

Aufgabe 9.2.14

Entscheiden Sie jeweils durch Rechnung, ob die angegebenen Punkte auf der Geraden liegen. Kreuzen Sie die Punkte auf der Geraden an.

Lösung

Die Geradengleichung lässt sich vereinfachen:

Somit ist also eine Gerade parallel zur Ordinatenachse, und es liegen genau die Punkte auf , welche Abszisse haben. Da

gilt, sind dies genau und . Alle anderen Punkte liegen nicht auf . Bild hierzu:

Für die Lagebeziehung zweier Geraden gibt es mehr Möglichkeiten:

Info 9.2.15

Sind und zwei Geraden in der Ebene, gegeben durch Geradengleichungen bezüglich eines Koordinatensystems, so trifft stets genau eine der folgenden Lagebeziehungen der Geraden zueinander zu:

Die Geraden und haben genau einen Punkt gemeinsam, sie schneiden sich also. Der gemeinsame Punkt heißt Schnittpunkt.
Die Geraden und haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall sind die Geraden parallel.
Die Geraden und sind identisch. In diesem Fall haben die Geraden alle Punkte gemeinsam.

Die letzte dieser Möglichkeiten, klingt zunächst etwas seltsam. Man fragt sich, wieso es zwei Bezeichnungen ( und ) für etwas gibt, was eigentlich nur eine Gerade ist. Man mache sich in diesem Zusammenhang aber klar, dass unterschiedliche Geradengleichungen genau die gleiche Gerade beschreiben können, wenn die Geradengleichungen durch Äquivalenzumformungen auseinander hervorgehen. So ist es durchaus möglich, dass man mit und zwei Beschreibungen (durch unterschiedliche, aber äquivalente Gleichungen) ein und der selben Geraden vorliegen hat, dies aber eventuell nicht sofort ersichtlich ist, sondern die Gleichungen dafür genauer untersucht werden müssen. Dies zeigt auch nochmals das folgende Beispiel:

Beispiel 9.2.16

Die Geraden und schneiden sich. Ihr einziger gemeinsamer Punkt ist der Schnittpunkt :
Die Geraden und schneiden sich nicht. Sie sind parallel:
Die Geraden und sind identisch, denn die beiden Geradengleichungen gehen durch Äquivalenzumformungen auseinander hervor:

Die Methoden zur Berechnung von Schnittpunkten von Geraden, sind die Methoden zum Lösen von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten (in diesem Fall sind dies die Geradengleichungen), die in Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme ausführlich behandelt wurden. Insbesondere wurde auch der geometrische Aspekt des Schnittpunkts von Geraden in diesem Zusammenhang in Abschnitt 4.2 LGS mit zwei Unbekannten bereits ausführlich behandelt. Deshalb sei an dieser Stelle für die Methoden der Schnittpunktbestimmung auf ebendiesen Abschnitt 4.2 LGS mit zwei Unbekannten verwiesen, und dessen kurze Wiederholung wird hier wärmstens empfohlen.

Liegen zwei Geradengleichungen allerdings in Normalform vor, kennt man also ihre Steigungen und Achsenabschnitte, so kann man (ohne Rechnung) direkt eine Aussage darüber treffen, welche der drei relativen Lagebeziehungen aus Infobox 9.2.3 Lagebeziehungen von Geraden auf die beiden Geraden zutrifft:

Info 9.2.17

Sind zwei Geraden und in der Ebene mittels Geradengleichungen in Normalform bezüglich eines Koordinatensystems gegeben, so gilt:

Falls die Steigungen von und unterschiedlich sind, schneiden sich die beiden Geraden.
Falls die Steigungen von und gleich sind, ihre Achsenabschnitte aber unterschiedlich, so sind die beiden Geraden parallel.
Falls die Steigungen und die Achsenabschnitte von und gleich sind, sind die beiden Geraden identisch.

	Keinen Schnittpunkt (parallel),
	identische Geraden,
	einen Schnittpunkt.