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10.2.2 Geraden in der Ebene und im Raum

In Kapitel 9 Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem wurden Geraden in der Ebene mittels Koordinatengleichungen für die Punkte auf den Geraden bezüglich eines festen Koordinatensystems beschrieben. Zum Beispiel ist in dieser Beschreibung eine Gerade mit Steigung und Achsenabschnitt gegeben als Punktmenge
wofür man oft kurz auch nur die Koordinatengleichung (hier in Normalform) angibt:
Das folgende Bild zeigt die Gerade:
TikZ Image
Im Folgenden sollen die Punkte auf der Geraden nun durch ihre zugehörigen Ortsvektoren beschrieben werden. Die nachstehende Überlegung führt auf diese Beschreibung: Die Punkte auf der obigen Geraden erfüllen die Gleichung
für ihre Koordinaten. Man kann diese Gleichung für die -Koordinaten in die Punkte einsetzen und erhält, dass die Gerade durch Punkte der Form mit gebildet wird. Die zu diesen Punkten gehörenden Ortsvektoren sollen mit bezeichnet sein. Dann gilt
mit . Das heißt die Gerade kann unter Benutzung von Ortsvektoren auch beschrieben werden mittels
Mit anderen Worten, die Punkte auf werden gebildet durch die Summe des Vektors und allen möglichen Vielfachen des Vektors , also allen zu kollinearen Vektoren. Das folgende Bild stellt diese Sichtweise auf Geraden dar:
TikZ Image
Die nächste Infobox stellt die wichtigsten Begriffe, Methoden und Konzepte zu dieser als Punkt-Richtungsform oder Parameterform bezeichneten Darstellungsweise von Geraden zusammen.
Info 10.2.2
  • Eine Gerade in der Ebene ist in Punkt-Richtungsform oder Parameterform gegeben als Menge von Ortsvektoren
    oft kurz geschrieben als
    Hierbei wird als Parameter, als Aufpunktvektor und als Richtungsvektor der Geraden bezeichnet. Die Ortsvektoren zeigen dann zu den einzelnen Punkten auf der Geraden. Der Aufpunktvektor ist der Ortsvektor eines festen Punktes auf der Geraden, der als Aufpunkt bezeichnet wird. Die Vielfachen von sind alle Vektoren, die kollinear zu sind:
    TikZ Image
  • Für eine Gerade , die durch Angabe einer Geradengleichung in Normalform
    vorliegt, kann eine Punkt-Richtungsform angegeben werden, indem die Ortsvektoren gebildet werden. Die Punkt-Richtungsform lautet dann
    mit dem Richtungsvektor und dem Aufpunktvektor .
  • Für eine Gerade , die in Parameterform
    vorliegt, kann eine zugehörige Geradengleichung folgendermaßen ermittelt werden: Der Richtungsvektor liefert durch Anlegen eines Steigungsdreiecks sofort die Steigung der Geraden. Es gilt
    TikZ Image
    (Hierfür muss sein. Der Spezialfall wird im Beispiel unten behandelt.) Nach den Methoden aus Abschnitt 9.2.2 Koordinatengleichungen für Geraden benötigt man zur Angabe der Geradengleichung in Normalform nun nur noch einen Punkt auf der Geraden, aus dem man den Achsenabschnitt bestimmt. Hierfür benutzt man am einfachsten den Aufpunktvektor .
Man stellt hier sofort fest, dass die Parameterform einer Geraden nicht eindeutig ist. Als Aufpunkt kann jeder Punkt auf der Geraden dienen, und auch als Richtungsvektor hat man beliebig viele kollineare Vektoren zur Auswahl. So wird zum Beispiel die Gerade mit der Koordinatengleichung
aus dem einführenden Beispiel nicht nur durch
in Parameterform dargestellt, sondern auch durch
oder
Oft benutzt man Darstellungen mit einem möglichst einfachen Richtungsvektor. Es sollte nur darauf geachtet werden, dass bei Darstellungen der gleichen Geraden mittels unterschiedlicher Richtungs- oder Aufpunktvektoren jeweils andere Variablen für den Parameter verwendet werden, da gleiche Parameterwerte in unterschiedlichen Darstellungen zu unterschiedlichen Punkten auf der Geraden führen. So ergibt beispielsweise der Parameterwert in der entsprechenden obigen Parameterform für den Punkt
auf , der Parameterwert der entsprechenden obigen Parameterform für den Punkt
auf .
Das folgende Beispiel zeigt einige Anwendungen der Punkt-Richtungsform.
Beispiel 10.2.3
  • Für die Gerade in der Ebene, welche durch die Geradengleichung
    gegeben ist, sollen zwei verschiedene Parameterformen ermittelt werden.
    Zunächst wird die Geradengleichung auf Normalform gebracht:
    Punkte auf haben also die Form mit , welche durch Ortsvektoren mit beschrieben werden. Folglich ist eine mögliche Parameterform durch
    gegeben. Für eine andere Parameterform können ein beliebiger anderer Richtungsvektor, der kollinear zu ist, und ein beliebiger anderer Aufpunkt auf gewählt werden. Zum Beispiel ist kollinear zu , da gilt. Und ist ein anderer passender Aufpunktvektor, da der Punkt offenbar die Geradengleichung erfüllt. Folglich ist
    eine weitere mögliche Parameterform der Geraden .
  • Auch für eine Gerade, deren Koordinatengleichung nicht auf Normalform gebracht werden kann, wie etwa
    kann eine Punkt-Richtungsform angegeben werden.
    Punkte auf der Geraden haben alle die Form für mit zugehörigen Ortsvektoren für . Da gilt, ist eine mögliche Punkt-Richtungsform für durch
    gegeben.
  • Für die Gerade in Parameterform mit
    soll die zugehörige Geradengleichung in Normalform ermittelt werden.
    Der Richtungsvektor liefert die Steigung . Somit hat die Geradengleichung in Normalform die Form
    Der Aufpunktvektor von lautet . Somit kann zur Bestimmung des Achsenabschnitts der Aufpunkt eingesetzt werden:
    Somit ergibt sich
  • Auch für eine Gerade in Parameterform wie etwa
    für welche die -Komponente des Richtungsvektors ist, kann eine zugehörige Geradengleichung ermittelt werden.
    Der Richtungsvektor mit -Komponente gleich impliziert, dass die Gerade parallel zur -Achse verläuft. Folglich hat die Geradengleichung die Form
    Die Konstante kann wieder durch Einsetzen des Aufpunkts bestimmt werden. Man erhält , und folglich gilt
  • Zu den beiden Punkten und ist die Gerade in Parameterform zu bestimmen.
    Als Richtungsvektor dient hier der Verbindungsvektor
    und als Aufpunktvektor der Ortsvektor von einem der gegebenen Punkte, zum Beispiel
    Somit gilt
    Bild hierzu:
    TikZ Image
Aufgabe 10.2.4
  1. Gegeben ist die Gerade mittels
    in Parameterform. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von in Normalform: .
  2. Die Gerade mit der Koordinatengleichung
    hat die Parameterform
    Bestimmen Sie die fehlenden Werte und .
  3. Gegeben sind die beiden Punkte und . Welche der folgenden Parameterformen sind korrekte Darstellungen der Geraden ?
    (i)
    (ii)
    (iii)
    (iv)
    (v)
    (vi)
  4. Für welchen Wert von liegt der Punkt mit dem Ortsvektor
    auf der Geraden
    und für welchen Parameterwert gilt dann ?
  1. Die Steigung der Geraden wird aus dem Richtungsvektor ermittelt: . Damit gilt
    Der Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen des Aufpunkts :
    Somit:
  2. Überführen der Geradengleichung in Normalform ergibt
    Der zum Aufpunktvektor gehörende Aufpunkt muss auf der Geraden liegen, also die Geradengleichung erfüllen. Damit ergibt sich
    Die Ortsvektoren der Punkte auf haben die Form . Somit ist ein Richtungsvektor von . Weitere Richtungsvektoren von sind zu diesem kollinear. Da
    gilt, folgt .
  3. Aus den gegebenen Punkten und folgt der Richtungsvektor
    Die Richtungsvektoren in den Fällen (ii) und (v) sind nicht zu diesem Vektor kollinear. Damit sind (ii) und (v) sicher keine korrekten Darstellungen der Geraden . Aus dem Richtungsvektor folgt die Steigung der Geraden . Damit lautet die Geradengleichung
    und Einsetzen von liefert den Achsenabschnitt :
    Es gilt also
    Diese Geradengleichung wird von den Aufpunkten in den Fällen (i) bis (v) erfüllt, im Fall (vi) aber nicht. Damit sind insgesamt die Fälle (i), (iii) und (iv) korrekte Darstellungen der Geraden, die Fälle (ii), (v) und (vi) aber nicht.
  4. Die Bedingung
    führt auf die beiden Gleichungen
    Damit ergibt sich zunächst und somit .
Geraden im Raum lassen sich im Gegensatz zu Geraden in der Ebene nicht mit Hilfe einer Koordinatengleichung darstellen. Hier hilft aber die Punkt-Richtungsform, die sich problemlos vom zwei- auf den dreidimensionalen Fall überträgt:
Info 10.2.5
Eine Gerade im Raum ist in Punkt-Richtungsform oder Parameterform gegeben als Menge von Ortsvektoren
oft kurz geschrieben als
Hier gelten die gleichen Bezeichnungen wie im zweidimensionalen Fall: heißt Parameter, heißt Aufpunktvektor und heißt Richtungsvektor der Geraden:
TikZ Image
Auch hier im dreidimensionalen Fall ist – analog zur Situation bei Geraden in der Ebene – die Parameterform einer Geraden nie eindeutig. Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung von Geraden in Parameterform im Raum.
Beispiel 10.2.6
Zu den beiden gegebenen Punkten und sind zwei unterschiedliche Darstellungen der Geraden in Parameterform anzugeben.
Der Verbindungsvektor dient als Richtungsvektor:
Der Punkt kann als Aufpunkt benutzt werden. Damit ergibt sich die Parameterform
Weitere zulässige Richtungsvektoren müssen kollinear zu sein. Zum Beispiel:
Dann kann zum Beispiel auch der Punkt als Aufpunkt benutzt werden, und man erhält
als weitere korrekte Punkt-Richtungsform für die Gerade .
Aufgabe 10.2.7
  1. Die Gerade , welche durch die gegebenen Punkte und verläuft, hat die Parameterform
    Bestimmen Sie die fehlenden Werte , , und .
  2. Für welchen Wert von liegt der Punkt mit dem Ortsvektor
    auf der Geraden
    und für welchen Parameterwert gilt dann ?
  1. Aus den gegebenen Punkten und folgt der Richtungsvektor
    Somit ist kollinear zu und damit ebenfalls ein zulässiger Richtungsvektor für , falls gilt, denn dann hat man
    Der Aufpunktvektor muss zu einem Punkt auf gehören. Eine mögliche Parameterform der Geraden ergibt sich unter Benutzung von als Richtungsvektor und als Aufpunktvektor:
    Dies führt auf die Gleichung
    aus deren dritter Komponente sofort abzulesen ist. Damit muss
    und folglich sowie gelten.
  2. Die Bedingung
    führt in der ersten und dritten Komponente auf , womit in der zweiten Komponente gilt.