Onlinebrückenkurs Mathematik

7.4.4 Aufgaben

Aufgabe 7.4.6
In welchen möglichst großen offenen Intervallen ist die Funktion mit monoton wachsend beziehungsweise monoton fallend?
Antwort:
  • ist auf monoton .
  • ist auf monoton .
Die Ableitung der Funktion besitzt den Funktionsterm
Da der Nenner von immer positiv ist, bestimmt ausschließlich der Zähler das Vorzeichen von : Für alle negativen ist und daher dort monoton fallend; für alle positiven dagegen ist und daher dort monoton wachsend.
Aufgabe 7.4.7
In welchen möglichst großen offenen Intervallen ist die Funktion mit für konvex beziehungsweise konkav? Antwort:
  • ist auf konvex.
  • ist auf konkav.
Hilfe zur Eingabe
Offene Intervalle können in der Form (a;b) eingetippt werden, geschlossene Intervalle als [a;b], a und b dürfen beliebige Ausdrücke sein. Verwenden Sie bei der Intervalleingabe nicht die Notation ]a;b[ für offene Intervalle. Schreiben Sie infty oder unendlich für in Ihrer Antwort.
Man berechnet für die erste und die zweite Ableitung von mit Hilfe der Quotientenregel
Da stets positiv ist, wird das Vorzeichen von einzig durch den Faktor bestimmt. Die einfachen Nullstellen von liegen bei . Daher ist für die zweite Ableitung auf dem offenen Intervall echt größer und in diesem Intervall linksgekrümmt (konvex). Auf gilt ; somit ist dort rechtsgekrümmt (konkav).
Aufgabe 7.4.8
Gegeben ist eine Funktion mit ; deren Ableitung besitze folgenden Graphen:
TikZ Image
  1. Wo ist monoton wachsend, wo monoton fallend? Gesucht sind jeweils möglichst große offene Intervalle , auf denen diese Eigenschaft hat.
  2. Welche Aussagen erhalten Sie über die Maximal- beziehungsweise Minimalstellen der Funktion ?
Antwort:
  • ist auf monoton .
  • ist auf monoton .
  • ist auf monoton .
  • ist auf monoton .
Die Maximalstelle von ist bei . Die Minimalstelle von ist bei .
Das Monotonieverhalten wird durch die Ableitung der Funktion bestimmt. Da der Graph der Ableitung in der Aufgabenstellung als Schaubild gegeben ist, muss man nur ablesen, in welchen Intervallen der Graph oberhalb (bzw. unterhalb) der -Achse verläuft: Auf den Intervallen , und ist und daher dort monoton wachsend; auf dem Intervall dagegen ist und daher dort monoton fallend. An einer Extremstelle (Maximal- oder Minimalstelle) einer Funktion (die nicht auf dem Rand des Definitionsbereichs liegt) verschwindet die erste Ableitung: . Anschaulich bedeutet dies, dass an einer solchen Stelle die Tangente an den Graphen von waagrecht verläuft. Die Nullstellen von liegen laut Aufgabenstellung bei , und . Da auf monoton wächst und auf monoton fällt, ist eine Maximalstelle. Analog begründet man, dass bei eine Minimalstelle vorliegt. (Bei handelt es sich um eine Sattelstelle.)