7.4.3 Zweite Ableitung und Krümmungseigenschaften
Gegenstand der Untersuchung ist eine Funktion , die auf dem Intervall differenzierbar ist. Ist deren Ableitung ebenfalls auf dem Intervall differenzierbar, so heißt zweimal differenzierbar. Bildet man die Ableitung der ersten Ableitung von , dann nennt man die zweite Ableitung der Funktion .
Die zweite Ableitung der Funktion kann verwendet werden, um das Krümmungsverhalten der Funktion zu untersuchen:
Info 7.4.3
Krümmungseigenschaften
Ist für alle zwischen und , dann heißt auf dem Intervall konvex (linksgekrümmt).
Ist für alle zwischen und , dann heißt auf dem Intervall konkav (rechtsgekrümmt).
Somit genügt es, das Vorzeichen der zweiten Ableitung zu bestimmen, um zu erkennen, ob eine Funktion konvex (linksgekrümmt) oder konkav (rechtsgekrümmt) ist.
Info 7.4.4
Anmerkung zur Notation
Die zweite Ableitung und weitere „höhere" Ableitungen werden oft mit hochgestellten natürlichen Zahlen in runden Klammern notiert: bezeichnet dann die -te Ableitung von . Diese Notation wird besonders in allgemein gehaltenen Formeln auch für die (erste) Ableitung () und für die Funktion selbst () verwendet.
Damit bezeichnet
- die Funktion ,
- die (erste) Ableitung,
- die zweite Ableitung,
- die dritte Ableitung,
- die vierte Ableitung von .
Diese Liste kann selbstverständlich beliebig lange fortgeführt werden, solange die Ableitungen von existieren.
Das folgende Beispiel zeigt, dass eine monoton wachsende Funktion in einem Bereich konvex und in einem anderen konkav sein kann.
Beispiel 7.4.5
Die Funktion ist sicherlich mindestens zweimal differenzierbar. Wegen für alle ist auf dem gesamten Definitionsbereich monoton wachsend.
Weiter ist . Somit ist für auch und damit hier konkav (nach rechts gekrümmt). Für ist , sodass für konvex (nach links gekrümmt) ist.