7.4.2 Monotonie
Mit der Ableitung kann das lokale Wachstumsverhalten untersucht werden, das heißt, ob für steigende Argumente die zugehörigen Funktionswerte größer oder kleiner werden. Dazu wird eine Funktion betrachtet, die auf differenzierbar ist:
Wenn für alle zwischen und gilt, dann ist auf dem Intervall monoton fallend.
Wenn für alle zwischen und gilt, dann ist auf dem Intervall monoton wachsend.
Somit genügt es, das Vorzeichen der Ableitung zu bestimmen, um zu erkennen, ob eine Funktion auf dem Intervall monoton wachsend oder monoton fallend ist. Beachten muss man lediglich, dass sich die Monotonie der Funktion an den Nullstellen der Ableitung ändern kann.
Beispiel 7.4.1
Die Funktion ist differenzierbar mit . Da für alle gilt, ist und damit monoton wachsend.
Für mit besitzt die Nullstellen und . Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens werden also drei Bereiche unterschieden, in denen die Ableitung jeweils ein anderes Vorzeichen hat.
Mit Hilfe folgender Tabelle wird bestimmt, in welchen Bereichen die Ableitung von positiv bzw. negativ ist. Diese Bereiche entsprechen den Monotoniebereichen von . Die untersuchten Terme ergeben sich aus den einzelnen Faktoren von . Der Eintrag besagt, dass der betrachtete Term im angegebenen Intervall positiv ist. Wenn er negativ ist, wird eingetragen:
Die Funktion ist im Intervall monoton wachsend, im Intervall monoton fallend und im Intervall wieder monoton wachsend.
Beispiel 7.4.2
Für die Funktion mit gilt . Hier ist für alle .
Auch wenn für die beiden Teilbereiche und dasselbe Monotonieverhalten auftritt, ist nicht über den gesamten Definitionsbereich monoton fallend. Als Gegenbeispiel kann und angeführt werden. Hier gilt , aber auch . Dies entspricht einem wachsenden Verhalten beim Übergang vom einen zum anderen Teilbereich. Deshalb ist es wichtig deutlich zu unterscheiden, dass die Funktion auf dem Intervall und ebenfalls auf dem Intervall monoton fallend ist.