6.5.3 Kosinus und Tangens

Im Grunde genommen müssen wir für Kosinus- und Tangensfunktion die zur Sinusfunktion analogen Überlegungen angehen, die wir aus dem vorigen Unterabschnitt 6.5.2 Die Sinusfunktion kennen. Da wir schon etwas Übung besitzen, können wir die Diskussion etwas straffen. Beginnen wir mit der Kosinusfunktion und betrachten erneut unsere dem Einheitskreis einbeschriebenen Dreiecke:

Wiederum besitzen alle Hypotenusen dieser so konstruierten rechtwinkligen Dreiecke die Länge , sodass die Kosinus der Winkel im Bild als Längen der Strecken auftreten. Bewegen wir wie zuvor den Punkt im Gegenuhrzeigersinn gleichmäßig um den Kreis und variieren so den Winkel , erhalten wir letztlich die Kosinusfunktion:

Das Schaubild gibt neben dem Graphen der Kosinus- (rote Linie) nochmals denjenigen der Sinusfunktion (graue Linie) zu Vergleichszwecken wieder; wir erkennen eine sehr enge Verwandtschaft, die wir noch thematisieren werden.

Welche wichtigen Eigenschaften besitzt die Kosinusfunktion?

Die Kosinusfunktion ist ebenfalls eine periodische Funktion. Die Periode ist wieder bzw. .
Der Definitionsbereich der Kosinusfunktion ist ganz , also , der Wertebereich das Intervall von bis , die Endpunkte inbegriffen, also .
Aus dem obigen Bild der Graphen von und ergibt sich unmittelbar, dass
für alle reellen Werte von gilt. Ebenso richtig, aber etwas schwieriger einzusehen, ist

Aufgabe 6.5.2

An welchen Stellen nimmt die Kosinusfunktion ihren maximalen Wert an, wo ihren maximal negativen Wert ? An welchen Punkten besitzt sie Nullstellen (d.h. wo ist der Funktionswert gleich )?

Lösung

Es gilt ; aufgrund der Periodizität mit Periode trifft dies auch für zu. Also nimmt die Kosinusfunktion den maximalen Wert für alle ganzzahligen Vielfachen von (bzw. für alle geradzahligen Vielfachen von ) an; man kann dies auch so schreiben:

Den Wert erreicht die Kosinusfunktion an den Stellen , also für ungeradzahlige Vielfache von :

Nullstellen treten für , d.h. für halbganzzahlige Vielfache von auf:

Wie im Falle des Sinus gibt es auch für den Kosinus eine allgemeine Kosinusfunktion, in deren Definition zusätzliche Freiheiten in Form von Parametern auftauchen (Amplitudenfaktor , Frequenzfaktor sowie Verschiebekonstante ); auf diese Art und Weise eröffnet sich wiederum die Möglichkeit, den Funktionsverlauf an unterschiedliche Situationen (in Anwendungsbeispielen) anzupassen:

Aufgabe 6.5.3

In Beispiel 6.5.2 Die Sinusfunktion haben wir das Fadenpendel andiskutiert. Insbesondere kann man den zeitlichen Verlauf der Pendelauslenkung unter den Voraussetzungen bestimmen, dass die Schwingungsdauer gerade Sekunden beträgt, und dass zum Zeitpunkt das Pendel bei einer Auslenkung von losgelassen wird:

Kann man diese Situation auch mit Hilfe der (allgemeinen) Kosinusfunktion (anstelle der Sinusfunktion) beschreiben, und wenn ja, wie sieht dann aus?

Lösung

Die Antwort auf die erste Frage lautet: Ja, es ist möglich, die Kosinusfunktion zur Beschreibung des vorliegenden Sachverhaltes heranzuziehen (wie wir sogleich sehen werden).

Im Prinzip könnten wir mit der oben wiedergegebenen allgemeinen Kosinusfunktion starten und mit Überlegungen, die analog zu denjenigen in Beispiel 6.5.2 Die Sinusfunktion verlaufen, die Parameter , und im vorliegenden Fall bestimmen. Einfacher ist es jedoch, sich auf den Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion zu besinnen. Denn dann folgt sofort

und damit:

Der Tangens ist gegeben als das Verhältnis von Sinus zu Kosinus. Also . Damit ist sofort klar, dass die Tangensfunktion nicht auf allen reellen Zahlen definiert sein kann, denn schließlich besitzt die Kosinusfunktion unendliche viele Nullstellen, wie man z.B. in Aufgabe 6.5.3 Kosinus und Tangens sehen kann. In Aufgabe 6.5.3 Kosinus und Tangens wird auch die Lage der Nullstellen von bestimmt (); demzufolge ist der Definitionsbereich der Tangensfunktion .

Und wie sieht es mit dem Wertebereich aus? Bei den -Nullstellen wird die Tangensfunktion gegen positiv bzw. negativ unendliche Werte streben und Polstellen haben und bei den -Nullstellen wird Null. Dazwischen sind alle reellen Werte möglich, daher ist . Insgesamt ergibt sich für den Graphen der Tangensfunktion

folgendes Bild:

Die Tangensfunktion verläuft zudem periodisch, allerdings mit der Periode bzw. .

Aufgabe 6.5.4

Der sogenannte Kotangens (Abkürzung ) ist definiert durch .

Geben Sie Definitions- und Wertebereich der Kotangensfunktion an!

Lösung

Die Polstellen des Kotangens liegen dort, wo der Sinus wird, und das ist genau dann der Fall, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Daher müssen wir bei der Definition der Kotangensfunktion genau diese Punkte ausschließen:

Zur Bestimmung des Wertebereichs können Betrachtungen durchgeführt werden, die denjenigen beim Tangens stark ähneln; man findet .