6.5.2 Die Sinusfunktion

In Modul 5 Geometrie wurden die trigonometrischen Funktionen elementar im 5.6 Winkelfunktionen: Sinus und Co. über rechtwinklige Dreiecke durch

sowie am Einheitskreis erklärt. Ausgehend von dieser Definition von gelangt man zur Sinusfunktion, indem man den Winkel zur Veränderlichen einer Funktion mit Namen macht. Man kann sich dies an Hand einer Familie von rechtwinkligen Dreiecken verdeutlichen, die dem Einheitskreis, das ist ein Kreis mit Radius , auf bestimmte Art und Weise einbeschrieben sind:

Beginnen wir mit dem Winkel , also einem zur Strecke entarteten Dreieck, so ist die Länge der Strecke gleich . Lassen wir nun den Punkt entgegen dem Uhrzeigersinn um den Kreis wandern, so wächst - und auch - zunächst an, bis für ein maximaler Wert () erreicht wird, bevor weiter zu-, aber wieder abnimmt. Für ist das Dreieck wieder zur Strecke degeneriert, und . Wird noch größer, „klappt" das Dreieck „nach unten", die Stecke ist parallel zur negativen -Achse ausgerichtet, ihre Länge daher negativ. Für tritt der maximal negative Wert auf, bevor er sich wieder nähert. Bei beginnt das Spiel von Neuem.

Das voranstehende Schaubild gibt den Graphen der Sinusfunktion,

wieder. Allerdings haben wir auf der -Achse (-Achse) den Winkel nicht - wie in der bisherigen Diskussion - im Gradmaß aufgetragen, sondern wir haben das in diesem Zusammenhang üblichere Bogenmaß verwendet.

Halten wir einige der wichtigsten Eigenschaften der Sinusfunktion fest:

Schon die Betrachtung des Graphen der einfachen Sinusfunktion legt die Verwendung dieser Funktion für die Beschreibung von Wellenvorgängen nahe. Um jedoch die gesamte Leistungsfähigkeit der Sinusfunktion ausschöpfen zu können, werden zuvor noch einige zusätzliche Parameter eingeführt. So können die „Ausschläge" der Sinusfunktion mit einem sogenannten Amplitudenfaktor verstärkt oder abgemildert, die „Schnelligkeit" oder „Dichte" der Auf- und Abbewegungen durch einen frequenzartigen Faktor beeinflusst und der gesamte Verlauf des Graphen kann mit einer Verschiebekonstanten nach rechts oder links verrückt werden. Die allgemeine Sinusfunktion besitzt daher folgende Gestalt:

.