10.1.4 Rechnen mit Vektoren

In diesem Abschnitt wird behandelt, wie man mit den – im vorigen Abschnitt 10.1.3 Vektoren in der Ebene und im Raum eingeführten – Vektoren rechnen kann. Das Rechnen mit Vektoren hat mehrere Aspekte: Zunächst kann man mit Vektoren, die man als 2- oder 3-Tupel angibt, die Rechenoperationen Addition, Subtraktion und – mit einer gewissen Einschränkung – auch Multiplikation durchführen, indem man diese Operationen komponentenweise ausführt. Dann haben diese Rechenoperationen aber auch eine geometrische Bedeutung für die Pfeile, welche die Vektoren repräsentieren. Man kann die Rechenoperationen für Vektoren auch als geometrische Operationen mit ihren Repräsentanten interpretieren. Schließlich führt diese geometrische Betrachtung des Rechnens mit Vektoren auch auf ein tieferes Verständnis von Orts- und Verbindungsvektoren von Punkten.

Das Rechnen mit zwei- und dreidimensionalen Vektoren funktioniert im Wesentlichen auf die gleiche Art und Weise. Bei den Rechenoperationen in Komponentenschreibweise werden im Folgenden immer beide Fälle (zwei- und dreidimensional) aufgeführt. Bei den zugehörigen Bildern, welche die geometrische Bedeutung der Operationen für die Repräsentanten der Vektoren sowie für Orts- und Verbindungsvektoren veranschaulichen, werden in diesem Abschnitt nur Pfeile und Punkte, keine Koordinatensysteme dargestellt. So sind diese Bilder sowohl für den zwei- als auch für den dreidimensionalen Fall gültig.

Da beim Rechnen mit Vektoren im Folgenden Vektoren durch Rechnung und Äquivalenzumformungen auseinander hervorgehen sollen, muss einmal festgehalten werden, unter welchen Umständen zwei Vektoren gleich sein sollen.

Diese Infobox macht auch klar, dass zwei Vektoren unterschiedlicher Dimension (also etwa und ) niemals gleich sein können. Diese Vektoren sind wegen der unterschiedlichen Anzahl an Komponenten sogar nicht einmal miteinander vergleichbar. Rechnungen mit Vektoren finden also immer nur mit einer festen Anzahl an Komponenten statt (hier entweder zwei oder drei), und die Ergebnisse der Rechnungen sind dann immer auch Vektoren mit ebendieser festen Anzahl an Komponenten.

Auch bei der Addition von Vektoren gilt, analog zum Rechnen mit reellen Zahlen, das Kommutativ- und das Assoziativgesetz (vgl. Abschnitt 1.1.3 Terme umformen) sowie Und der Nullvektor bzw. erfüllt die analoge Funktion für Vektoren, die die für reelle Zahlen erfüllt:

Das obige Beispiel zeigt, dass man mit Hilfe der Vektorrechnung auch Ausdrücke für Verbindungsvektoren von Punkten vereinfachen kann. Dies wird weiter unten bei der Subtraktion von Vektoren nochmals vertieft.

Untersucht man mögliche Rechenoperationen für Vektoren nun weiter, so stellt man fest, dass die komponentenweise Multiplikation oder Division von Vektoren keine sinnvolle Operation ist. Dies genauer zu verstehen, würde aber den mathematischen Rahmen dieses Brückenkurses sprengen. So muss man an dieser Stelle einfach akzeptieren, dass man Vektoren nicht so einfach miteinander multiplizieren und schon gar nicht durcheinander dividieren kann. Was allerdings möglich ist, ist die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen und – darauf aufbauend – auch die Subtraktion von Vektoren. Wichtig ist noch Folgendes: Wird im Nachfolgenden von der Länge eines Vektors gesprochen, so ist damit die geometrische Länge der Pfeile gemeint, die ihn repräsentieren. Das Konzept der Länge oder des Betrags eines Vektors wird weiter unten noch genauer untersucht.

Für das Rechnen mit Vielfachen von Vektoren gilt nun der folgende Satz von Rechengesetzen.

Mit Hilfe des Konzeptes des Gegenvektors, kann nun auch festgehalten werden, was die Subtraktion von Vektoren bedeutet.

Betrachtet man in dieser Infobox nur die Differenz von Vektoren anhand ihrer Komponenten, so kann man sich fragen, wozu hierfür überhaupt das Konzept des Gegenvektors notwendig ist. Tatsächlich könnte man die Differenz von Vektoren in Komponenten auch ohne die Idee des Gegenvektors in Analogie zur Summe hinschreiben. Überlegt man sich dann aber die geometrische Interpretation der Differenz mit Hilfe von Repräsentanten (vgl. die Abbildung in der Infobox), so sieht man, dass dies nur mit Hilfe des Gegenvektors möglich ist.

Da Vektoren durch beliebig viele Pfeile repräsentiert werden, die alle durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen, haben alle diese Repräsentanten die gleiche geometrische Länge (nämlich immer den Abstand der beiden Punkte, die sie verbinden). Deshalb ist es auch sinnvoll von der Länge eines Vektors zu sprechen. Die Länge eines Vektors trägt in der Mathematik die Bezeichnung Betrag oder Norm.

Durch einen Vergleich mit der Infobox 9.3.2 Abstand und Streckenlänge zum Abstand zweier Punkte in einem zweidimensionalen Koordinatensystem in Kapitel 9 Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem, ist die Formel für den zweidimensionalen Fall unmittelbar einsichtig:

Es handelt sich wieder um eine einfache Anwendung des Satzes des Pythagoras. Im dreidimensionalen Fall ist die Lage nicht wesentlich komplizierter. Auch hier hilft der Satz des Pythagoras weiter:

In dieser Abbildung sind zwei rechtwinklige Dreiecke zu sehen. Das rechtwinklige Dreieck in der -Ebene ergibt eine Länge von für die blaue Linie. Das zweite rechtwinklige Dreieck gibt dann für die Streckenlänge von nach , also für :

Für Normen von Vektoren gilt der folgende Satz von Rechenregeln.