Onlinebrückenkurs Mathematik

9.3.2 Abstand und Streckenlänge

Rekapituliert man nochmals das einführende Beispiel des Hydranten aus 9.1.1 Einführung, so stellt man fest, dass man mit Hilfe der Daten auf dem Hydrantenschild zwar nun den Ort des Hydranten in einem Koordinatensystem genau angeben kann. Interessiert man sich aber dafür, wie weit der Hydrant vom Schild tatsächlich entfernt ist, muss man dies aus den Koordinaten erst ausrechnen.
hydrant.png
Hier hilft der Satz des Pythagoras weiter:
TikZ Image
Man erhält für den Abstand zwischen Schild und Hydrant:
Somit kann man hier (näherungsweise) ausrechnen:
Der Abstand zwischen Schild und Hydrant beträgt also (in der hier verwendeten Längeneinheit Meter) etwa Meter und Zentimeter. Für rein mathematische Betrachtungen sind auch hier die Längeneinheiten nicht wichtig, so dass diese im Folgenden wieder weggelassen werden.
Das obige Beispiel des Schilds und des Hydranten kann man bequem verallgemeinern. Der Abstand zwischen zwei Punkten im ist stets durch das Anlegen eines geeigneten rechtwinkligen Dreiecks und durch den Satz des Pythagoras zu bestimmen.
Beispiel 9.3.1
Die Punkte und haben den Abstand
TikZ Image
Der Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene kann also dadurch berechnet werden, dass man aus ihren Abszissen und Ordinaten die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmt und dann den Satz des Pythagoras anwendet. Weiterhin ist in obigem Beispiel 9.3.2 Abstand und Streckenlänge ersichtlich, dass der Abstand zwischen den Punkten und genau die Länge eines endlichen Stücks der Gerade beschreibt, nämlich desjenigen Stücks zwischen und . Dieses endliche Stück der Gerade heißt Strecke zwischen und und wird mit dem Symbol bezeichnet. Die Länge der Strecke ist der Abstand zwischen und und trägt das Symbol .
Info 9.3.2
Der Abstand zwischen zwei Punkten und im ist gegeben durch
Man stellt hier außerdem fest: zwei Punkte haben genau dann den Abstand Null, wenn sie identisch sind.
Aufgabe 9.3.3
  1. Berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte und .
  2. Berechnen Sie das Quadrat des Abstands der beiden Punkte und in Abhängigkeit von .
  3. Bestimmen Sie den Punkt im III. Quadranten, der vom Punkt den Abstand hat und auf der Geraden durch mit der Steigung liegt.
Beim zweiten Aufgabenteil ist eine unbekannte Konstante, die in der Lösung als
Hilfe zur Eingabe
psi
eingegeben werden kann.
  3. Die Gerade durch mit der Steigung hat nach Abschnitt 9.2.2 Koordinatengleichungen für Geraden die Gleichung mit dem Achsenabschnitt , der durch Einsetzen des Punktes ermittelt werden kann:
    Somit ergibt sich die Gleichung für die Gerade durch mit Steigung . Punkte auf dieser Geraden haben also die Koordinaten . Von diesen Punkten gilt es nun denjenigen zu finden, der von den Abstand hat und im III. Quadranten liegt. Für den Abstand zwischen und einem Punkt gilt in Abhängigkeit von :
    Das Lösen der Gleichung
    mit den Methoden aus 2.2 Betragsgleichungen liefert die beiden -Werte und . Dabei kann nur der -Wert als Abszisse eines Punktes im III. Quadranten auftreten. Die zugehörige Ordinate ergibt sich durch Einsetzen in die Geradengleichung:
    Somit ist der gesuchte Punkt .