5.3.3 Satz des Pythagoras
Eine Aussage über die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck bietet der Satz des Pythagoras. Dieser wird hier in einer oft verwendeten Formulierung angegeben.
Info 5.3.3
Satz des Pythagoras
| Es wird ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet, in dem der rechte Winkel bei liegt. |  |
Dann ist die Summe der Quadrate über den Katheten und gleich dem Quadrat über der Hypotenuse . Mit den genannten Bezeichnungen gilt somit (siehe auch das abgebildete Dreieck):
Werden die Seiten des Dreiecks anders bezeichnet, muss die Gleichung entsprechend angepasst werden!
Beispiel 5.3.4
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen und .
Die Länge der Hypotenuse kann mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden:
Aufgabe 5.3.5
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel in , der Hypotenuse und der Höhe sowie der Strecke mit . Dabei bezeichnet den Höhenfußpunkt der Höhe . Berechnen Sie die Länge der beiden Katheten und .
Der Satz des Thales ist ein weiterer wichtiger Satz, der eine Aussage über rechtwinklige Dreiecke ausdrückt.
Info 5.3.6
Satz des Thales
 | Hat das Dreieck bei einen rechten Winkel, so liegt auf einem Kreis mit Radius und der Hypotenuse als Durchmesser der Länge . |
Die umgekehrte Aussage gilt ebenso. Wenn man über einer Strecke einen Halbkreis konstruiert und dann und mit einem beliebigen Punkt auf dem Halbkreis verbindet, dann ist das so entstandene Dreieck immer rechtwinklig.
Beispiel 5.3.7
Es soll ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge und der Höhe konstruiert werden.
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Diese Schnittpunkte sind jeweils die dritte Ecke eines Dreiecks, das die geforderten Eigenschaften hat, das heißt, man erhält zwei Lösungen. Würde man noch einen Thaleskreis nach unten zeichen, so ergäben sich noch mal zwei Lösungen. Wenn es nicht um die Lage, sondern nur um die „Form" der Dreiecke geht, dann sind alle diese Dreiecke „deckungsgleich" (siehe auch 5.3.4 Kongruente und ähnliche Dreiecke).
Aufgabe 5.3.8
Welche Höhe kann ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse maximal haben?