Onlinebrückenkurs Mathematik

8.3.4 Aufgaben

Aufgabe 8.3.5
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche , die durch den Graphen der Funktion und die -Achse begrenzt wird.
Antwort: .
Die Funktion mit hat auf dem Intervall die Nullstellen , , , und . Da der Graph von punktsymmetrisch zum Nullpunkt ist, ergibt sich der Flächeninhalt mit der folgenden Rechnung zu
Die Berechnung ist natürlich auch ohne die Beobachtung möglich, dass der Graph von punktsymmetrisch zum Nullpunkt ist.
Aufgabe 8.3.6
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche , die durch die Graphen der Funktionen und eingeschlossen wird. Zeichnen Sie dazu zunächst die Graphen der Funktionen, bevor Sie den Flächeninhalt berechnen.
Antwort: .
Zur Berechnung des Flächeninhalts der Fläche zwischen den Funktionsgraphen von und wird mit auf dem Intervall betrachtet.
TikZ Image
Aus den Zeichnungen der Funktionsgraphen ist zu sehen, dass die Differenz größer gleich Null für ist. Dies kann auch rechnerisch festgestellt werden: Nach Voraussetzung ist hier und damit . Folglich ist hier und damit , sodass
für gilt.
Für die Berechnung des Flächeninhalts ist somit das Integral auszuwerten. Dazu können die Funktionsterme ausmultipliziert und mit der Summenregel integriert werden. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die beiden Funktionsterme genauer zu betrachten: In der gegebenen Situation des Beispiels liegen mit bzw. Terme vor, die durch Verschiebung aus den bekannten Termen bzw. gemäß hervorgehen. Eine Stammfunktion von mit ist mit . Wenn man jetzt entsprechend mit betrachtet, ergibt sich mit der Kettenregel . Dabei ergibt sich der letzte Faktor aus der Ableitung der inneren Funktion mit . Deshalb ist eine Stammfunktion von . Entsprechend kann man nachrechnen, dass mit eine Stammfunktion von ist.
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt zwischen den Funktionsgraphen
In der nächsten Aufgabe wird eine physikalische Fragestellung in der Sprache der Mathematik formuliert, wobei eine Vereinfachung in der Beschreibung vorgenommen wird. Dies soll exemplarisch verdeutlichen, dass die mathematischen Schreibweisen wie hier für Funktionen prinzipiell auch in Anwendungen eingesetzt werden können. In der Praxis werden oft kürze Formulierungen verwendet. So werden beispielsweise Definitionsbereich und Zielbereich einer Funktion nicht explizit notiert, wenn sich diese aus dem Kontext ergeben.
Aufgabe 8.3.7
Berechnen Sie die Arbeit , die nötig ist, um einen kleinen kugelförmigen homogenen Körper , der die Masse hat, gegen die Gravitationskraft von der Oberfläche eines kugelförmigen homogenen Körpers mit Radius und Masse bis zu einer Entfernung zu bewegen (alle Längen beziehen sich auf den Mittelpunkt des Körpers ). Hierbei sind die Masse und die Gravitationskonstante als gegebene Werte anzunehmen, und der kleine Körper wird im Vergleich zum Körper als punktförmig angesehen.
Antwort: .
Hilfe zur Eingabe
Die Konstanten und müssen in der Lösung stehen bleiben, für kann man gamma eingeben.
Die Kraft längs des Weges, durch die der kleine Körper mit der Masse von der Oberfläche des Körpers weg bewegt wird, zeigt entgegen der Gravitationskraft . Somit ist .
Die aufzuwendende Arbeit von zu ergibt sich damit zu