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8.3.2 Flächenberechnung

Eine erste Anwendung der Integrationsrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten, deren Ränder von mathematischen Funktionen beschrieben werden können. Zur Veranschaulichung ist in der folgenden Abbildung (linkes Bild) die Funktion auf dem Intervall dargestellt. Das Ziel ist die Berechnung des Flächeninhalts, der vom Graphen der Funktion und der -Achse eingeschlossen wird. Die bisherigen Untersuchungen ergeben, dass das Integral über diese ungerade Funktion in den Grenzen von bis genau Null ergeben wird, da die linke und rechte Teilfläche gleich groß sind, aber bei der Integration unterschiedliche Vorzeichen erhalten. Das Integral entspricht hier also nicht dem Wert des Flächeninhalts. Spiegelt man jedoch die „negative"’ Fläche an der -Achse, gibt man der Funktion also ein positives Vorzeichen (rechtes Bild), dann kann man den Flächeninhalt richtig bestimmen. Mathematisch bedeutet das, dass man nicht das Integral der Funktion berechnet, sondern das Integral des Betrags .
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Durch die Bildung des Betrags der Funktion benötigt man eine Aufteilung des Integrals in die Bereiche mit positivem und negativem Vorzeichen. Für die Berechnung heißt dies, dass man das Integrationsintervall in Abschnitte unterteilt, in denen die Funktionswerte das selbe Vorzeichen haben. Für stetige Funktionen ergeben sich diese durch die Nullstellen der Funktion.
Info 8.3.1

Flächenberechnung

Gegeben ist eine stetige Funktionen auf einem Intervall . Weiter seien bis die Nullstellen von mit . Es werden und gesetzt.
Dann ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von und der -Achse gleich
Dies soll für das oben dargestellte Beispiel etwas genauer erörtert werden.
Beispiel 8.3.2
Zu berechnen ist der Flächeninhalt der Fläche, den die stetige Funktion mit im Bereich mit der -Ache einschließt. Die einzige Nullstelle der gegebenen Funktion befindet sich bei . Man teilt den Integrationsbereich also in die beiden Teilintervalle und auf und berechnet mit
den Flächeninhalt zwischen Kurve und -Achse zu .
Man kann nicht nur Flächeninhalte zwischen einer Kurve und der -Achse bestimmen, sondern auch den Inhalt einer Fläche, die von zwei Kurven eingeschlossen wird, wie in der folgenden Abbildung veranschaulicht wird. Dort zeigt das rechte Bild die gesuchte Fläche, deren Flächeninhalt als die Differenz der Flächeninhalte aus dem linken und dem mittleren Bild berechnet wird.
TikZ Image
Dieses Prinzip soll ebenfalls zuerst formal vorgestellt und danach an einem Beispiel erläutert werden.
Info 8.3.3

Flächenberechnung zwischen den Graphen zweier Funktionen

Gegeben sind zwei stetige Funktionen auf einem Intervall . Weiter seien bis die Nullstellen von mit . Es werden und gesetzt.
Dann kann der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von und dem von durch
berechnet werden.
Dazu soll nun ein Beispiel betrachtet werden.
Beispiel 8.3.4
Berechnet werden soll der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von und mit und für . Zunächst untersucht man die Differenz der Funktionen auf ihre Nullstellen. Mit
kann man die reellen Nullstellen von berechnen:
oder mit der dritten binomischen Formel:
In der ersten Rechnung wurde nach dem Ziehen der ersten Wurzel auf eine nähere Betrachtung des Falls verzichtet, da man aus der daraus folgenden Gleichung keine reellen Nullstellen erhält. Die reellen Nullstellen von sind und . Dies sind gleichzeitig auch die Randstellen des Intervalls . Eine Aufteilung des Integrals in verschiedene Bereiche ist also nicht nötig. Die Werte von sind kleiner als die von auf diesem Intervall. Damit erhält man den Flächeninhalt