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8.2.5 Aufgaben

In der ersten Aufgabe wird die Idee zur Definition des Integrals aufgegriffen, mittels geeigneter Zerlegungen den Integralwert zu berechnen, wobei in der Aufgabe neben Rechtecken allgemeiner beispielsweise auch Dreiecksflächen verwendet werden.
Aufgabe 8.2.16
Berechnen Sie zu mit dem unten dargestellten Graphen das Integral mit Methoden aus der elementaren Geometrie, indem Sie die entsprechende Fläche „unter dem Graphen der Funktion" in elementare geometrische Flächen wie Dreiecke oder Rechtecke zerlegen, die entweder oberhalb oder unterhalb der -Achse liegen. Die einzelnen Flächeninhalte können Sie in dieser Situation dann mit Formeln für Dreiecke oder Rechtecke berechnen.
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Der Integralwert ergibt sich dann als Summe der Teilflächen, die oberhalb der -Achse liegen, abzüglich der Summe der Teilflächen, die unterhalb der -Achse liegen. In diesem Sinne kann man den Integralwert als die Summe vorzeichenbehafteter Flächenwerte verstehen.
Der Integralwert von ist .
Die Fläche wird mit Geraden durch , , , , , , und in Teilflächen zerlegt, die jeweils durch den Graphen von , die -Achse und durch die Geraden und für begrenzt werden.
Es werden die zugehörigen vorzeichenbehafteten Flächeninhalte aufsummiert, sodass sich der Integralwert ergibt:
Die Fläche kann auch in andere Teilflächen zerlegt werden. Wird die Fläche beispielsweise durch , , und in drei Teilflächen zerlegt, hat die Teilfläche zwischen und denselben Flächeninhalt wie die Teilfläche zwischen und , jedoch erhalten die Werte verschiedenes Vorzeichen, da oberhalb der -Achse liegt und unterhalb.
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Somit ist der Integralwert gleich dem negativen Flächeninhalt der Fläche zwischen und , die unterhalb der -Achse liegt.
Aufgabe 8.2.17
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhält man
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .
Aufgabe 8.2.18
Der Wert des Integrals ist .
Der Integrand ist ungerade und das Integrationsintervall ist symmetrisch bezüglich , sodass das Integral den Wert hat. Oder es wird das Integral mit dem Hauptsatz berechnet:
Aufgabe 8.2.19
Berechnen Sie eine reelle Zahl so, dass der Integralwert
den Wert ergibt: Der Wert für ist .
Nimmt man als unbekannte Konstante, so ist
Also ist der gesuchte Wert.
Aufgabe 8.2.20
Berechnen Sie die Integrale:
  1. ,
  2. .
Der Integrand mit ist ein Polynom, sodass mit eine Stammfunktion ist. Mit dem Hauptsatz folgt
Beim zweiten Aufgabenteil ist der Integrand ein Produkt einer Wurzelfunktion mit einem konstanten Faktor. Damit ist mit eine Stammfunktion von . Mit dem Hauptsatz folgt
Aufgabe 8.2.21
Der Wert des Integrals ist .
Zum Integranden mit für ist mit eine Stammfunktion. Mit dem Hauptsatz folgt
Aufgabe 8.2.22
Berechnen Sie die Integrale
  1. ,
  2. .
Der Integrand mit ist eine Polynomfunktion. Damit ist mit eine Stammfunktion von . Mit dem Hauptsatz folgt
Im zweiten Aufgabenteil ist der Integrand mit ebenfalls eine Polynomfunktion. Damit ist mit eine Stammfunktion von . Mit dem Hauptsatz folgt
Aufgabe 8.2.23
Berechnen Sie das Integral
.
Zum Integranden mit ist mit eine Stammfunktion. Mit dem Hauptsatz folgt
Anmerkung: Die periodischen Funktionen und mit Periode haben die Eigenschaft, dass das Integral über eine Periode gleich Null ist. Für andere periodische Funktionen wie zum Beispiel mit können sich für das Integral auch Werte ungleich Null ergeben, wenn das Integrationsintervall eine Periode der Funktion umfasst.