Onlinebrückenkurs Mathematik

8.1.3 Aufgaben

Aufgabe 8.1.11
Geben Sie eine Stammfunktion an:
  1. .
    Es ist
  2. .
    Es ist
  3. .
    Es ist . Somit ist
Aufgabe 8.1.12
Bestimmen Sie eine Stammfunktion:
  1. .
    Es ist .
  2. .
    Es ist .
Aufgabe 8.1.13
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen für reelle Funktionen richtig sind.
richtig?Aussage:
mit ist eine Stammfunktion
von mit .
mit ist eine Stammfunktion
von mit .
mit ist eine Stammfunktion von mit
für .
mit ist eine Stammfunktion
von mit .
Wenn eine Stammfunktion von ist, eine Stammfunktion von ,
dann ist ist eine Stammfunktion von .
  • Die Ableitung von mit ist , sodass keine Stammfunktion von ist.
  • Die Ableitung von mit ist , sodass eine Stammfunktion von ist.
  • Die Ableitung von mit ist (für ). Deshalb ist keine Stammfunktion von .
  • Die Ableitung von mit ergibt sich mit der Kettenregel zu . Somit ist eine Stammfunktion von .
  • Wenn eine Stammfunktion von ist, eine Stammfunktion von , dann sind und differenzierbar, wobei und gilt. Somit ist auch differenzierbar, und es gilt . Das heißt, dass eine Stammfunktion von ist.
Aufgabe 8.1.14
Bestimmen Sie eine Stammfunktion zu
  1. ,
  2. ,
  3. ,
für , nachdem Sie die Funktionsterme als gekürzte Summen von Brüchen geschrieben haben:
  1. Mit der Vereinfachung ergibt sich für .
    Der Funktionsterm lässt sich zu vereinfachen, was auf
    für und führt.
  2. Mit der Vereinfachung ergibt sich für .
    Der Funktionsterm lässt sich zu vereinfachen, was auf
    für und führt.
  3. Mit der Vereinfachung ergibt sich für .
    Der Funktionsterm lässt sich zu vereinfachen, was auf
    für und führt.
Hilfe zur Eingabe
Schreiben Sie beispielsweise als sqrt(x).
Aufgabe 8.1.15
Gegeben ist eine Funktion mit für . Weiter sind Funktionen und mit bzw. für gegeben. Berechnen Sie die Ableitung von und von , und beantworten Sie die Frage ob, es sich um Stammfunktionen von handelt:
Es ist: und .
Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:
ist eine Stammfunktion von .
ist eine Stammfunktion von .
Die Ableitung von mit für ist . Somit ist eine Stammfunktion von .
Die Funktion mit für hat die Ableitung für alle . Deshalb ist keine Stammfunktion von .
Aufgabe 8.1.16
Es wird angenommen, dass eine Stammfunktion von mit ist und den Funktionswert hat. Dann ist = .
Nach Voraussetzung ist eine Stammfunktion von mit . Somit gilt , woraus
für eine reelle Zahl folgt. Außerdem soll gelten, sodass ist. Damit erhält man . Einsetzen von ergibt den gesuchten Wert .