8.1.2 Stammfunktionen
Im Kontext dieses Kurses werden die Fragestellungen der Integralrechnung für Funktionen auf „zusammenhängenden" Definitionsbereichen betrachtet, wie dies für viele praktische Fragestellungen von besonderer Bedeutung ist. Mathematisch formuliert, werden die Definitionsbereiche der Funktionen Intervalle sein. Dazu passend werden hier Stammfunktionen auf Intervallen definiert, mit denen die Frage nach der „Umkehrung" der Ableitung betrachtet wird.
Info 8.1.1
Stammfunktion
Gegeben ist ein Intervall und eine Funktion . Wenn es eine differenzierbare Funktion gibt, deren Ableitung gleich ist, für die also für alle gilt, dann heißt eine Stammfunktion von .
Zunächst sollen einige Beispiele betrachtet werden.
Beispiel 8.1.2
Die Funktion mit hat die Ableitung
Somit ist eine Stammfunktion von mit .
Beispiel 8.1.3
Die Funktion mit hat die Ableitung
Deshalb ist eine Stammfunktion von mit .
Es wird noch ein ganz einfaches Beispiel betrachtet, an dem ein wichtiger Aspekt deutlich wird, wenn eine Stammfunktion gesucht wird.
Beispiel 8.1.4
Es sei eine konstante Funktion auf einem Intervall mit dem Funktionswert gegeben. Dann hat die Ableitung
Deshalb ist eine Stammfunktion von mit .
Das letzte Beispiel ist wenig überraschend, denn die Ableitung einer konstanten Funktion ist die Nullfunktion. Somit ist jede konstante Funktion eine Stammfunktion von mit auf einem Intervall, das heißt, es ist gleich irgendeiner Zahl für jeden -Wert. Andere Möglichkeiten, als dass es sich um irgendeine konstante Funktion handelt, gibt es aber nicht, wenn auf einem Intervall definiert ist.
Info 8.1.5
Alle Stammfunktionen der Nullfunktion
Es ist genau dann eine Stammfunktion von mit auf einem Intervall, wenn eine konstante Funktion ist, das heißt, wenn es eine reelle Zahl gibt, sodass für alle -Werte des Intervalls ist.
Wenn die Funktionen und dieselbe Ableitung haben, dann ist . Bildet man nun auf beiden Seiten der Gleichung die Stammfunktion auf einem Intervall, dann erhält man den Zusammenhang . Somit ist . Hat man also mit eine Stammfunktion von gefunden, dann ist auch mit eine Stammfunktion von .
Info 8.1.6
Aussage über Stammfunktionen
Wenn und Stammfunktionen von auf einem Intervall sind, dann gibt es eine reelle Zahl , sodass
gilt. Man schreibt auch
um auszudrücken, wie sämtliche Stammfunktionen von aussehen.
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen wird auch unbestimmtes Integral genannt und in der oben eingeführten Form
notiert, wobei irgendeine Stammfunktion von ist.
Durch die Schreibweise des unbestimmten Integrals wird betont, dass zur gegebenen Funktion eine Funktion mit gesucht wird. Wie damit das (bestimmte) Integral einer stetigen Funktion berechnet werden kann, beschreibt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der im nächsten Abschnitt in 8.2.2 Integral erläutert wird.
Und woher kennt man den Wert dieser Konstanten ? Ist nur nach einer Stammfunktion von mit auf einem Intervall gefragt, ohne dass weitere Anforderungen bekannt sind, ist nicht festgelegt. Erst wenn zusätzlich ein Funktionswert von an einer Stelle vorgegeben wird, ist auch festgelegt.
Beispiel 8.1.7
Beispielsweise ergibt sich für mit dann
Wenn nun diejenige Stammfunktion von gesucht wird, für die gilt, dann muss und somit sein. Damit ist dann .
Notiert man die Beziehung zwischen Ableitung und Stammfunktionen in der eben besprochenen umgekehrten Sichtweise für die bisher betrachteten Funktionsklassen, ergibt sich die folgende Tabelle:
Info 8.1.8
Eine kleine Tabelle von Stammfunktionen
Es werden Funktionen auf einem Intervall betrachtet, zu denen die Stammfunktionen in der Schreibweise des unbestimmten Integrals angegeben werden:
Hier bezeichnen und beliebige reelle Zahlen mit und eine ganze Zahl mit .
Das nächste Beispiel zeigt, wie die Tabelle gelesen wird.
Beispiel 8.1.9
Zur Funktion mit wird das unbestimmte Integral gesucht. Aus der obigen Tabelle können Stammfunktionen zu mit und mit abgelesen werden: Es ist mit eine Stammfunktion von und mit eine Stammfunktion von . Somit ist die Funktion mit
eine Stammfunktion von . Damit wird durch
die Gesamtheit der Stammfunktionen von mit beschrieben, wobei für eine beliebige reelle Zahl steht.
Die Schreibweise mit der Konstanten drückt aus, dass beispielsweise auch mit eine Stammfunktion von ist, wobei ist, denn es ist für alle .
In Tabellenwerken wird auf die Angaben der Konstanten oft verzichtet. In einer Rechnung ist es allerdings wichtig, anzugeben, dass es mehrere Funktionen geben kann. Bei der Lösung anwendungsbezogener Aufgaben wird die Konstante häufig durch die Angabe weiterer Bedingungen wie beispielsweise die Angabe eines Funktionswertes einer Stammfunktion festgelegt.
Info 8.1.10
Ein praktischer Hinweis
Die Überprüfung, ob man eine Stammfunktion einer vorgegebenen Funktion richtig gebildet hat, ist sehr einfach. Man bestimmt die Ableitung der gefundenen Stammfunktion und vergleicht diese mit der ursprünglich vorgegebenen Funktion . Stimmen beide überein, dann war die Rechnung richtig. Stimmt das Ergebnis der Probe nicht mit der Funktion überein, so muss die Stammfunktion noch einmal überprüft werden.