4.2.4 Aufgaben

Auflösen z.B. der 1. Gleichung () nach liefert . Dies kann man dann in die 2. Gleichung () einsetzen: . Mit diesem Ergebnis für liefert in der Folge z.B. die 1. Gleichung . Die Lösungsmenge lautet hier also .

Selbstverständlich könnte man auch anders beginnen: Man könnte z.B. die 1. Gleichung nach auflösen und das Ergebnis für dann in die 2. Gleichung einsetzen, um zu bestimmen; oder man könnte generell mit der 2. Gleichung beginnen und diese im 1. Schritt nach oder nach auflösen. Es bestehen also einige Freiheiten in der Vorgehensweise.

Auflösen z.B. der 1. Gleichung () nach liefert . Dies kann man dann in die 2. Gleichung () einsetzen: . Es entsteht also keine neue Aussage; mit anderen Worten: Die 2. Gleichung enthält keine neue Information. Damit enthält die Lösungsmenge in diesem Fall unendlich viele Lösungspaare , die sich durch eine reelle Zahl parametrisieren lassen. Wählt man z.B. , so lautet die Lösungsmenge . Diese Lösungsmenge lässt sich als Gerade im zweidimensionalen Raum veranschaulichen:

Dementsprechend sind andere Parametrisierungen der Lösungsmenge möglich, z.B. indem man als freien Parameter wählt und die obige Gerade mit Hilfe ihrer Steigung und ihres -Achsenabschnittes charakterisiert, also .

Multipliziert man z.B. die 2. Gleichung () mit , so entsteht die Gleichung : . Die letzte Gleichung addiert man dann zur 1. Gleichung (): . Dies ist ein Widerspruch! Somit ist die Lösungsmenge für dieses Lineare Gleichungssystem leer: .

Multiplikation der 1. Gleichung () mit führt auf die Gleichung : ; Multiplikation der 2. Gleichung mit auf die Gleichung : . Anschließende Addition der Gleichungen und liefert: . Setzt man dieses Ergebnis für z.B. in die 2. Gleichung ein, so entsteht: . Damit lautet die Lösungsmenge hier: .