11.3.1 Einführung
Vorgegeben sei eine Stichprobe vom Umfang zu einem quantitativen Merkmal . Die Urliste sei
Info 11.3.1
Das arithmetische Mittel , auch Stichprobenmittel genannt, von ist definiert durch
Physikalisch beschreibt den Schwerpunkt der durch gleiche Massen in gegebenen Massenverteilung auf der als gewichtlos angenommenen Zahlengeraden.
Beispiel 11.3.2
Vorgelegt sei die folgende Urliste zu einer Stichprobe vom Umfang :
| 10 | 11 | 9 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| 11 | 22 | 12 | 13 | 9 |
| 11 | 9 | 10 | 12 | 13 |
| 12 | 11 | 10 | 10 | 12 |
Das untersuchte Merkmal könnte z.B. die Studiendauer (in Semestern) von 20 Studierenden im Fach Mathematik an einer Uni sein. Aufsummieren der Werte ergibt
so dass sich für das arithmetische Mittel in diesem Beispiel
ergibt.
Das arithmetische Mittel reagiert ziemlich stark auf sogenannte Ausreißerdaten. Dies bedeutet, dass ein stark von den übrigen Daten abweichender Messwert erhebliche Auswirkungen auf den arithmetischen Mittelwert haben kann.
Beispiel 11.3.3
Betrachtet man wieder die obige Urliste zu einer Stichprobe vom Umfang und lässt den Datenwert weg, so erhält man als arithmetisches Mittel der verbleibenden Datenwerte
Wird ein multiplikativer bzw. relativer Zusammenhang zwischen den Werten einer Urliste vermutet (beispielsweise bei Wachstumsprozessen oder Verzinsungen), so ist das arithmetische (additive) Mittel keine geeignete Maßzahl. Für solche Datenwerte verwendet man das geometrische Mittel:
Info 11.3.4
Für Daten ist das geometrische Mittel von durch
definiert.
Beispiel 11.3.5
Es wird eine Population beobachtet, die zum Zeitpunkt aus 50 Tieren besteht. Alle zwei Jahre wird die Zahl der Tiere neu beobachtet.
| Jahr | Anzahl der Tiere | Wachstumsrate | ||
|---|---|---|---|---|
| 50 | ||||
| 100 | verdoppelt () | |||
| 400 | vervierfacht () | |||
| 1200 | verdreifacht () |
Die (geometrische) mittlere Wachtumsrate beträgt dann
An diesem Beispiel wird deutlich, dass die Anwendung des arithmetischen Mittels bei Wachstumsvorgängen zu falschen Ergebnissen führt. Es gilt
aber eine theoretische Verdreifachung der Population alle zwei Jahre würde bedeuten, dass sie nach sechs Jahren Tiere umfassen müsste, was ersichtlich falsch ist. Bei einer durchschnittlichen Wachstumsrate von erhält man das richtige Ergebnis: .
Aufgabe 11.3.6
Eine Kapitalanlage verzeichne die folgenden Wachstumsraten pro Jahr:
| Jahr | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
|---|---|---|---|---|---|
| Wachstumsrate |
Bestimmen Sie die mittlere Wachstumsrate über die fünf Jahre in Prozent: mathematisch gerundet auf zwei Stellen hinter dem Komma.
Bei dieser Aufgabe dürfen Sie einen Taschenrechner für die Berechnungen verwenden.