Onlinebrückenkurs Mathematik

7.5.2 Aufgaben

Mit dieser Trainingsaufgabe können die Bestandteile der Kurvendiskussion geübt werden:
Aufgabe 7.5.1
1 von 50
Führen Sie für die Funktion eine vollständige Kurvendiskussion durch.
  1. Definitionsbereich: Der maximale Definitionsbereich ist
  2. Symmetrie: Keine Symmetrie bezüglich y-Achse oder Koordinatenursprung.
  3. Asymptotisches Verhalten: Grenzwerte für :
  4. Periodizität: Die Funktion ist als rationale (nicht konstante) Funktion nicht periodisch.
  5. Ableitungen: Als rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich unendlich oft differenzierbar. Die ersten 3 Ableitungen von lauten:
  6. Extremstellen: Eine Notwendige Bedingung für Extremstellen von ist . Das ist hier äquivalent zu . Die Kandidaten für Extremstellen sind die Lösungen dieser Gleichung innerhalb des Definitionsbereichs von : ; ; , Minimum bei ; , Maximum bei ;
  7. Monotonieverhalten: Bei einer stetigen ersten Ableitung ist allgemein das Vorzeichen der ersten Ableitung auf Intervallen, die durch die Extremstellen und die Definitionslücken gegeben sind zu betrachten. Somit ist auf monoton fallend, monoton wachsend, monoton fallend.
  8. Wendestellen: Eine Notwendige Bedingung für Wendestellen von ist . Das ist hier äquivalent zu . Die Kandidaten für Wendestellen sind die Lösung dieser Gleichung innerhalb des Definitionsbereichs von : ; Wendestelle bei , weil die zweite Ableitung das Vorzeichen von + nach - wechselt.
  9. Krümmungsverhalten: Bei einer stetigen zweiten Ableitung ist allgemein das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf Intervallen, die durch die Nullstellen der zweiten Ableitung und die Definitionslücken gegeben sind zu betrachten. Somit ist auf konvex (), konkav ().
  10. Skizze des Graphen: x: Maxima; x: Minima; o: Wendestellen;
    Abb_zur_Ag_autogenerated_fractions_1_conv.png
Aufgabe 7.5.51
Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion für eine Funktion mit durch und füllen Sie die Eingabefelder mit Ihren Ergebnissen aus:
  1. Definitionsbereich:
    (in Intervallschreibweise (a;b)).
  2. Achsenschnittpunkte:
    Menge der Schnittpunkte mit der -Achse (Nullstellen von ): (in Mengenschreibweise {a;b;c}, nur -Komponenten).
    Der Schnittpunkt mit der -Achse ist bei .
  3. Symmetrie:
    Die Funktion ist
    achsensymmetrisch zur -Achse,
    punktsymmetrisch zum Ursprung.
  4. Grenzverhalten:
    Für streben die Funktionswerte gegen
    und für gegen .
  5. Ableitungen:
    Es ist =
    sowie = .
  6. Monotonieverhalten:
    Die Funktion ist auf dem Intervall monoton wachsend und ansonsten monoton fallend.
  7. Extremwerte:
    Die Stelle = ist eine Minimalstelle
    und = ist eine Maximalstelle.
  8. Wendepunkte:
    Die Menge der Wendestellen ist
    (in Mengenschreibweise, Wurzeln dürfen stehenbleiben).
  9. Krümmungsverhalten:
    Die Funktion ist auf dem Intervall konvex und ansonsten konkav.
  10. Skizze des Graphen:
    Skizzieren Sie den Graphen und vergleichen Sie ihn anschließend mit der Musterlösung.
  1. Maximaler Definitionsbereich:
    Es gilt und für alle ; damit ist der maximale Definitionsbereich.
  2. Achsenschnittpunkte:
    Schnittpunkte mit der -Achse (Nullstellen der Funktion) liegen bei und , was auf die Punkte und führt. Der Schnittpunkt mit der -Achse ist .
  3. Symmetrie:
    Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, und damit ist der Graph von weder achsensymmetrisch zur -Achse noch punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs.
  4. Grenzverhalten:
    Da die Funktion für alle reellen Zahlen definiert ist, müssen nur die Asymptoten bei untersucht werden:
    Somit ist für eine Asymptote.
  5. Ableitungen:
    Die ersten beiden Ableitungen von führen auf
  6. Monotonieverhalten:
    Lösungen von sind und . Weiter ist und
    Auf ist negativ und damit monoton fallend.
    Auf ist positiv und damit monoton wachsend.
    Auf ist negativ und damit monoton fallend.
  7. Extremwerte:
    Somit ist Minimalstelle und Maximalstelle.
  8. Wendepunkte:
    Die notwendige Bedingung für Wendestellen führt auf die quadratische Gleichung . Die Lösungen sind und .
  9. Krümmungsverhalten:
    Da die Wendepunkte bekannt sind, muss nur noch bestimmt werden, wann größer oder kleiner Null ist. Die Ableitungen der Exponentialfunktion sind immer größer Null, von daher bestimmt der quadratische Term das Vorzeichen.
    Auf ist negativ und damit konkav.
    Auf ist positiv und damit konvex.
    Auf ist negativ und damit konkav.
  10. Skizze des Graphen:
    Der Graph der Funktion f, skizziert auf dem Intervall ] -\num{6.2}; 3[.