Onlinebrückenkurs Mathematik

7.1.4 Aufgaben

Aufgabe 7.1.5
Berechnen Sie mittels Differenzenquotient die Ableitung von , an den Stellen und .
Antwort:
  1. Der Differenzenquotient von an der Stelle ist und hat für den Grenzwert .
  2. Der Differenzenquotient von an der Stelle ist und hat für den Grenzwert .
  1. An der Stelle gilt für den Differenzenquotienten
    Für , also , strebt dieser Differenzenquotient gegen ; daher .
  2. An der Stelle gilt für den Differenzenquotienten
    Für , also , besitzt dieser Differenzenquotient den Grenzwert ; daher .
Aufgabe 7.1.6
Erläutern Sie, warum
  1. mit in und
  2. mit in
nicht differenzierbar sind.
Antwort:
  1. Die Ableitung von existiert an der Stelle nicht, da der Differenzenquotient für nicht konvergiert.
  2. Die Ableitung von existiert an der Stelle nicht, da der Differenzenquotient für den Wert und für den Wert hat. Somit existiert der Grenzwert für nicht.
  1. Der Differenzenquotient von an der Stelle ist
    Für () wächst dieser Differenzenquotient über alle Maßen, d.h. der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nicht.
  2. Der Differenzenquotient von an der Stelle ist
    Für hat der Differenzenquotient wegen also den Wert , für dagegen wegen den Wert . Somit existiert kein Grenzwert des Differenzenquotienten. (Ein Grenzwert ist immer eindeutig.)