5.4.2 Vierecke
Im vorherigen Abschnitt 5.3 Rund um Dreiecke wurden Dreiecke betrachtet. Dazu wurde von drei Punkten ausgegangen, die nicht auf einer Geraden liegen. Will man all diese drei Punkte durch alle möglichen Kombinationen von 3 Strecken (zwischen jeweils zwei der drei Punkte) verbinden, ergibt sich immer ein geschlossener Weg. Dabei ist jeder gegebene Punkt immer eine Schnittstelle von genau zwei Strecken. Außerdem gibt es keine Kreuzungspunkte.
Bei mehr als drei Punkten ist dies nicht immer der Fall. Bereits vier Punkte können so verbunden werden, dass sich die Verbindungsstrecken kreuzen oder dass sich mehrere geschlossene Wege ergeben.
Hier sollen die Strecken alle gegebenen Punkte durch einen einzigen geschlossenen Weg miteinander verbinden, der kreuzungsfrei verläuft.
Offenbar kann ein Viereck in zwei Dreiecke zerlegt werden. Im Allgemeinen erhält man zwei Dreiecke, wenn man eine Ecke mit dem größten Winkel mit der gegenüberliegenden Ecke durch eine Strecke verbindet. Eine solche Strecke zwischen Ecken, die nicht miteinander verbunden sind, heißt eine Diagonale des Vierecks. Aus der Kenntnis, dass die Summe der (Innen-)Winkel eines Dreicks beziehungsweise ist, folgt damit, dass die Summe der (Innen-)Winkel eines Vierecks doppelt so groß ist, also beziehungsweise beträgt.
Info 5.4.1
Vierecke
Es werden Vierecke betrachtet, die sich dadurch ergeben, dass vier gegebene Punkte so durch Strecken miteinander verbunden werden, dass ein einziger geschlossener, kreuzungsfreier Weg durch alle vier Punkte entsteht. Dabei sollen je drei der gegebenen Punkte, die durch zwei Strecken miteinander verbunden sind, nicht auf einer Geraden liegen.
Wie bei Dreiecken werden auch bei Vierecken die Innenwinkel kurz als Winkel bezeichnet. In den Situationen, in denen neben Innenwinkeln auch Außenwinkel betrachtet werden, ist es hilfreich, jeweils ausdrücklich anzugeben, ob ein Innenwinkel oder ein Außenwinkel betrachtet wird.
Genauso wie Dreiecke, werden auch Vierecke in vielfältiger Weise in der technischen Konstruktionen verwendet. Dadurch sind weitere alltägliche Namen gebräuchlich, die verschiedene Klassen von Vierecken bezeichnen.
Wie bei Dreiecken werden auch Vierecke nach der Länge von Seiten oder nach der Größe von Winkeln eingeteilt. Dabei erkennt man typische Unterschiede zu Dreiecken. Anders als dort kann es bei Vierecken beispielsweise parallele Seiten geben. Außerdem ist es möglich, dass es mehr als eine Ecke mit einem rechten Winkel gibt.
Info 5.4.2
Besondere Klassen von Vierecken
Für Vierecke mit den folgenden weiteren Eigenschaften werden eigene Begriffe eingeführt: Ein Viereck heißt
- Trapez, falls wenigstens zwei Seiten parallel sind;
- Parallelogramm, falls alle beiden zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind;
- Raute oder gleichseitiges Viereck oder auch Rhombus, falls alle vier Seiten gleich lang sind;
- Rechteck, falls alle vier (Innen-)Winkel rechte Winkel sind;
- Quadrat, falls es ein Rechteck ist, bei dem alle Seiten gleich lang sind;
- Einheitsquadrat, falls es ein Quadrat mit Seitenlänge ist.
Für das Einheitsquadrat muss also auch ein Längenmaßstab vereinbart werden.
Unter den gerade eingeführten speziellen Vierecken gibt es eine ganze Reihe von Zusammenhängen:
Info 5.4.3
Beziehungen zwischen Vierecken
Es gelten unter anderem folgende Beziehungen zwischen Vierecken:
- Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
- Jedes Quadrat ist eine Raute.
- Jede Raute ist ein Parallelogramm.
- Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
- Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
Diese Vierecke können auf vielerlei Weisen anhand von Eigenschaften der Seiten, Winkel oder auch Diagonalen charakterisiert werden.
Info 5.4.4
Parallelogramm
Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn
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Rauten können als besondere Parallelogramme beschrieben werden.
Info 5.4.5
Raute
Ein Viereck ist genau dann eine Raute, wenn
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Bei Rechtecken denkt man oft an rechte Winkel, wie es ihr Name andeutet. Darüber hinaus können Rechtecke mit Hilfe von Eigenschaften ihrer Diagonalen einfach beschrieben werden.
Info 5.4.6
Rechteck
Ein Viereck ist genau dann ein Rechteck, wenn
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Quadrate sind sowohl besondere Recktecke als auch spezielle Rauten.
Info 5.4.7
Quadrat
Ein Viereck ist genau dann ein Quadrat, wenn
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