Onlinebrückenkurs Mathematik

4.4.3 Aufgaben

Aufgabe 4.4.3
Es sollen der Achsenabschnitt und die Steigung einer Geraden mit der Darstellung bestimmt werden, welche durch zwei Punkte festgelegt wird. Der erste Punkt an der Stelle liegt auf der Geraden, welche durch die Gleichung beschrieben wird; der zweite Punkt an der Stelle liegt auf der Geraden, die durch beschrieben wird. Die Situation wird durch die nachfolgende Graphik verdeutlicht.
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  1. Bestimmen Sie das Gleichungssystem für die Geradenparameter und .
    Die erste Gleichung lautet ; die zweite Gleichung lautet .
    Hilfe zur Eingabe
    Die Konstanten und müssen in der Lösung stehen bleiben; für diese kann man alpha und beta eingeben.
  2. Lösen Sie dieses Gleichungssystem für und . Für welche und ergibt sich eine eindeutige, keine bzw. unendlich viele Lösungen?
    Z.B. erhält man für den Fall und die Lösung und , für den Fall und ergibt sich die Lösung und .
    Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, falls und ist. Die zugehörigen Lösungen lassen sich parametrisieren mit und , .
  3. Was bedeuten die letzten beiden Fälle, d.h. keine bzw. unendlich viele Lösungen, anschaulich?
  1. Das LGS für und ergibt sich aus den Bedingungen
    zu
  2. Ersetzt man Gl. (2) durch die Differenz von Gl. und Gl. , dann erhält man
    Das LGS liegt damit bereits in Dreiecksform vor.
    A. Für den Fall kann Gl. durch dividiert werden, womit man die Steigung zu
    erhält. Dieses Ergebnis kann man z.B. in die nach aufgelöste Gl. (1) einsetzen:
    Die so gefundenen Werte für und stellen eine eindeutige Lösung des betrachteten LGS dar.
    Für das Beispiel erhält man die Lösung und für das Ergebnis .
    B. Gilt nun . Damit verschwindet die linke Seite von Gl. . Dies macht die folgende weitere Fallunterscheidung nötig:
    B(i). Gilt nun für die rechte Seite von Gl. , dann besitzt das LGS keine Lösung, . Setzt man noch ein, dann erhält man .
    B(ii). Verschwindet die rechte Seite von Gl. , dann besteht das LGS faktisch nur noch aus Gl. (1) mit . In diesem Fall kann man , , beliebig vorgeben, und ergibt sich direkt aus Gl. (1) zu . Die Lösungsmenge stellt sich damit wie folgt dar:
  3. Die rechten Seiten der Gln. und enthalten die -Werte der Ausgangsgeraden an den Stellen und , d.h. und , sodass in Gl. auf der rechten Seite die Differenz steht. Im Fall 2., , erhält man dann . Das LGS hat also keine Lösung (Fall 2a), wenn dann gilt, die beiden Geraden also verschiedene -Werte besitzen. Dahingegen existieren unendlich viele Lösungen (Fall 2b), wenn sich die beiden Ausgangsgeraden an der Stelle schneiden.
Aufgabe 4.4.4
Bestimmen Sie für das folgende parameterabhängige LGS die Lösungsmenge für alle :
Das LGS besitzt Lösungen nur für folgende Werte des Parameters: .
Hilfe zur Eingabe
Mengen können in der Form {a;b;c;…} eingegeben werden. Die leere Menge kann als {} eingegeben werden.
Für den kleinsten dieser Parameterwerte kann die Lösung angegeben werden durch: , , , . Für den größten dieser Parameterwerte kann die Lösung angegeben werden durch: , , , .
In einem ersten Schritt kann man Gl. zu Gl. addieren und damit Gl. ersetzen:
Da die linken Seiten der Gln. und übereinstimmen, bietet es sich an, das Negative von Gl. zu Gl. zu addieren und damit Gl. zu ersetzen:
Nachfolgend erhält man für das LGS eine Dreiecksform, wenn man das -fache von Gl. zu Gl. hinzuaddiert und damit Gl. ersetzt:
Schließlich führt die Addition von Gl. zu Gl. zur einer weiteren Vereinfachung,
Dieses äquivalente LGS besitzt nur dann eine Lösung, wenn auch Gl. erfüllt ist, also gilt. In allen anderen Fällen ist die Lösungsmenge leer, d.h.
Ist nun Gl. erfüllt, also oder , dann kann frei gewählt werden, d.h. , . Die Umstellung der Gln. und nach bzw. liefert im Fall die Ausdrücke und , also
Entsprechend ergeben sich im Fall die Ausdrücke und , also