Onlinebrückenkurs Mathematik

4.3.5 Aufgaben

Aufgabe 4.3.10
Geben Sie die Lösungsmenge für das Lineare Gleichungssystem
an. Verwenden Sie zum Lösen
  1. die Einsetzmethode,
  2. die Additionsmethode.
  1. Man stellt z.B. die erste Gleichung () nach frei, , und setzt dieses Ergebnis in die dritte Gleichung () ein:
    Das letzte Ergebnis, das schon nach der Unbekannten aufgelöst wurde, setzt man in die zweite Gleichung ein (), die von vornherein unabhängig von ist:
    Damit gilt auch
    und für erhält man - gemäß der Gleichung aus der ersten Umformung -:
    Also ist das Lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar mit . Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.
  2. Addition der ersten und der dritten Gleichung eliminiert die Unbekannte :
    Multipliziert man die letzte Gleichung mit , so entsteht
    und die anschließende Addition der zweiten Gleichung () sorgt dafür, dass die Abhängigkeit von herausfällt:
    Wie im ersten Aufgabenteil können in der Folge und bestimmt werden; natürlich bekommt man dasselbe Ergebnis . Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.
Aufgabe 4.3.11
Die folgende einfache Schaltung soll betrachtet werden:
TikZ Image
Sie ist aus einer Spannungsquelle, die eine Spannung liefern soll, sowie aus drei Widerständen , und aufgebaut. Gefragt ist nach den in den einzelnen Zweigen fließenden Strömen , und . Hinweise: Die Zusammenhänge zwischen den interessierenden Größen, sprich den Spannungen, den Widerständen und den Stromstärken, werden für solche Schaltungen von den sogenannten Kirchhoffschen Regeln geliefert, die im vorliegenden Beispiel drei Gleichungen bereitstellen:
Außerdem wird die Beziehung zwischen den physikalischen Einheiten Volt () (für die Spannung), Ampère () (für die Stromstärke) und Ohm () (für den Widerstand) benötigt: .
Man löst z.B. die erste Gleichung nach auf,
und setzt das Ergebnis in die zweite Gleichung ein:
Die letzte Gleichung und die dritte Gleichung im ursprünglichen System hängen nur noch von den Unbekannten und ab. Sie bilden ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten, das man jetzt weiter löst: Dazu stellt man z.B. die dritte Gleichung des ursprünglichen Systems nach frei,
und setzt das Resultat in Gleichung  ein:
Damit folgt für wegen Gleichung 
und für schließlich:
Nun kann man die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Werte für die Widerstände (, und ) und die Spannung () einsetzen; für erhält man unter Verwendung von :
Analog findet man für und : und Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.
Aufgabe 4.3.12
Lösen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem mit Hilfe der Additionsmethode:
Da die erste Gleichung () von vornherein nicht von der Unbekannten abhängt, bietet es sich an, aus der zweiten und dritten Gleichung ebenfalls zu eliminieren. Dazu multipliziert man die zweite Gleichung () mit und addiert die resultierende Gleichung zur dritten Gleichung () hinzu:
Zufälligerweise fällt gleichzeitig auch die Unbekannte heraus. Mit dem Ergebnis für liefert die erste Gleichung
Den Wert für erhält man sodann, indem man z.B. die zweite Gleichung verwendet:
Also lautet die Lösungsmenge .