Onlinebrückenkurs Mathematik

3.1.3 Spezielle Umformungen

Die folgenden Äquivalenzumformungen sind nützlich, wenn die Unbekannte im Nenner eines Ausdrucks auftritt. Sie dürfen aber nur unter bestimmten Voraussetzungen eingesetzt werden:
Info 3.1.9
Unter der Vorbedingung, dass keiner der beteiligten Nenner den Wert Null annimmt (diese Fälle sind prinzipiell keine Lösungen) und dass beide Brüche das gleiche Vorzeichen haben, darf man auf beiden Seiten der Ungleichung den Kehrwert nehmen und dabei das Vergleichssymbol umdrehen.
Beispiel 3.1.10
Beispielsweise ist die Ungleichung äquivalent zu (Vergleichssymbol wurde gedreht) sofern ist. Die neue Ungleichung hat die Lösungsmenge , aber da der Fall ausgeschlossen wurde (und er auch nicht zur Definitionsmenge der ursprünglichen Ungleichung gehört) ist die Lösungsmenge von .
Aufgabe 3.1.11
Wie lauten die Lösungsintervalle dieser Ungleichungen?
  1. besitzt die Lösungsmenge .
  2. besitzt die Lösungsmenge .
Bei der ersten Ungleichung ist nicht in der Definitionsmenge, dieser Wert wird daher ausgeschlossen. Ist , so ist das Bilden der Kehrwerte und Umdrehen der Ungleichung erlaubt und ergibt . Zusammen mit der Vorbedingung erhält man das Lösungsintervall . Für die darf man die Kehrwertregel nicht anwenden. Man sieht hier aber auch ohne Regel, dass kein eine Lösung sein kann, da dann auch negativ und nicht größer oder gleich ist.
Die Definitionsmenge der zweiten Ungleichung ist , da nur für diese sowohl die Wurzel wie auch die Nenner zulässig sind. Das Bilden der Kehrwerte und Umdrehen der Ungleichung ist auf der Definitionsmenge erlaubt und ergibt . Da ist, darf man die gesamte Ungleichung durch teilen und erhält . Diese Ungleichung besitzt die Lösungsmenge , die auch in der Definitionsmenge enthalten ist.
Beim letzten Aufgabenteil ist zu beachten:
Info 3.1.12
Das Quadrieren einer Ungleichung auf beiden Seiten ist keine Äquivalenzumformung und verändert unter Umständen die Lösungsmenge.
Beispielsweise ist keine Lösung von , aber sehr wohl von . Diese Umformung darf man dennoch einsetzen, wenn man eine richtig formulierte Fallunterscheidung für die Umformung ansetzt und die Definitionsmenge der ursprünglichen Ungleichung beachtet. Diese Technik wird im nächsten Abschnitt genauer betrachtet.