1.2.2 Umwandeln von Brüchen
Wird ein Bruch ausdividiert, so erhält man einen Dezimalbruch bzw. eine Dezimalzahl, zum Beispiel
Schon an diesen Beispielen zeigt sich, dass die Division entweder aufgehen kann und man einen endlichen Dezimalbruch erhält oder aber die Ziffern wiederholen sich in einer bestimmten Reihenfolge, dann liegt ein unendlicher periodischer Dezimalbruch vor. Dabei wird die sich kleinste periodisch wiederholende Ziffernfolge mit einem Strich über den entsprechenden Ziffern gekennzeichnet.
Die Umwandlung von endlichen Dezimalbrüchen in Brüche geschieht mit der Stellentafel. Jeder Dezimalbruch hat die Form
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ZT | T | H | Z | E | z | h | t | zt |
wobei ZT … Zehntausender, T … Tausender, H … Hunderter, Z … Zehner, E … Einer, z … Zehntel, h … Hundertstel, t … Tausendstel, zt … Zehntausendstel u.s.w. beschreiben. Die Umwandlung sieht dann folgendermaßen aus:
Aber wie sieht es bei periodischen Dezimalbrüchen aus? Anscheinend müssten hier unendlich viele Brüche aufsummiert werden, was in der Praxis natürlich wenig Sinn macht. Daher bedient man sich bei der Umwandlung unendlicher periodischer Dezimalbrüche in Brüche eines Tricks:
Info 1.2.612
Die Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in Brüche geschieht, indem man durch Multiplikation mit einer Zehnerpotenz die periodischen Nachkommastellen vor das Komma holt. Dies ergibt eine Gleichung der Form für den Dezimalbruch , der zu (ein gewöhnlicher Bruch) aufgelöst werden kann.
Beispiel 1.2.613
Die Zahl soll in einen Bruch umgewandelt werden. Hierzu multipliziert man die Zahl mit und subtrahiert vom Ergebnis die Ausgangszahl, um die unendliche Periode zu eliminieren:
| = | |||||
| = | |||||
| = |
Aus der letzten Beziehung folgt nach Division durch sofort:
Dieses Vorgehen funktioniert auch, wenn sich nicht alle Ziffern hinter dem Komma periodisch wiederholen:
Beispiel 1.2.614
Der Dezimalbruch soll in einen Bruch umgewandelt werden:
| = | |||||
| = | |||||
| = |
Division durch liefert das Ergebnis: .
Die Vorgehensweise ist also immer dieselbe: durch geeignete Multiplikation mit Zehnerpotenzen und anschließender Subtraktion wird die unendliche Periode entfernt.
Aufgabe 1.2.615
Berechnen Sie mit dem obigen Verfahren einen gewöhnlichen und gekürzten Bruch, der den Wert darstellt.
Antwort: .
Hilfe zur Eingabe
Geben Sie den Bruch in der Form
Zähler/Nenner maximal gekürzt und mit positivem Nenner ein.Beim überschlägigen Rechnen (wenn man also nur ungefähr die Größe oder das Verhältnis einer Zahl zu anderen Zahlen abschätzen möchte ohne den exakten Wert als Dezimalbruch zu kennen) ist es dagegen hilfreich, statt einer Umwandlung mit dem Hauptnenner (sprich dem kgV aller Nenner) zu multiplizieren:
Beispiel 1.2.616
Die Brüche , und sollen der Größe nach angeordnet werden. Dazu multipliziert man die Brüche mit dem Hauptnenner (hier ist das ). Die Nenner verschwinden und es entstehen die ganzen Zahlen
Anordnen nach Größe ergibt . Damit ist dann da die Multiplikation der Brüche mit der gleichen Zahl die Anordnung der Brüche nicht verändert (im Abschnitt 3.1 Ungleichungen und ihre Lösungsmengen über Ungleichungen und wie man diese umformt).
Aufgabe 1.2.617
Wie lautet die Anordnung der Brüche , , , , und der Größe nach?
.