Onlinebrückenkurs Mathematik

5.5.3 Aufgaben

Aufgabe 5.5.9
Berechnen Sie das Volumen eines Prismas der Höhe , dessen Grundfläche ein Dreieck ist, von dem zwei Seiten lang sind, und eine Seite lang ist.
Antwort:
Die Grundfläche des Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck mit den gleich langen Seiten und und einer weiteren Seite . Deshalb kann die Höhe auf mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Mit den angegebenen Werten erhält man die Höhe und damit den Flächeninhalt . Das gesuchte Volumen des Prismas ist .
Aufgabe 5.5.10
Die Oberfläche eines Zylinders mit einer Höhe von soll mit einer Farbfolie beklebt werden. Die Oberfläche soll groß sein. Berechnen Sie den Durchmesser der Kreisfläche und das Volumen des Zylinders. Verwenden Sie als Näherung für den Wert und runden Sie Ihre Ergebnisse auf eine Nachkommastelle (dies entspricht einer Genauigkeit von einem Millimeter beziehungsweise Qubikmillimeter).
Antworten:
  1. Durchmesser
    Die Oberfläche eines Zylinders ergibt sich aus der Summe der Grundflächen und der Mantelfläche:
    In der Aufgabe sind die Oberfläche und die Höhe des Zylinders gegeben. Damit kann der gesuchte Kreisdurchmesser des Bodens berechnet werden, indem eine Lösungsformel für eine quadratische Gleichung verwendet wird oder eine quadratische Ergänzung vorgenommen wird (siehe Kapitel 1 Elementares Rechnen): Multiplikation mit und Addition von führt auf
    woraus
    folgt. Mit den angegebenen Zahlenwerten ergibt sich
    für den gesuchten Durchmesser.
  2. Volumen (mit dem gerundeten Ergebnis der ersten Teilaufgabe)
    Mit dem in der vorherigen Teilaufgabe berechneten Durchmesser erhält man das Volumen des Zylinders:
    Anmerkung: Wenn das Ergebnis des Durchmessers mit zwei Nachkommastellen berechnet wird, erhält man als Wert für das Volumen.
Aufgabe 5.5.11
Es ist ein Holzstück in Form eines Quaders mit dem Volumen gegeben. Der Quader ist hoch, und die Grundfläche besteht aus einem Quadrat mit einer Seitenlänge von . Aus dem Holzstück wird ein zylinderförmiges Loch der Höhe mit einem Durchmesser von „mittig" ausgebohrt (das heißt, der Schnittpunkt der Diagonalen der quadratischen Grundfläche bildet den Mittelpunkt der Kreisscheibe des Zylinders). Verwenden Sie als Näherung für den Wert und runden Sie Ihre Ergebnisse auf ganze Zahlen. Berechnen Sie
  1. das Volumen des ausgebohrten Hohlraums:
    Das Volumen des Zylinders ist
  2. den prozentualen Anteil des Volumens des neuen Holzstücks, das nach dem Ausbohren von noch vorhanden ist:
    Antwort:
    Das Volumen des Holzstücks ist
    Damit ist der Anteil des ausgebohrten Zylinders durch
    und somit der prozentuale Anteil des neuen Holzstücks im Vergleich zum ursprünglichen Holzquader.