Onlinebrückenkurs Mathematik

5.1.3 Strahlensätze

Eine Lochkamera liefert ein kleines Bild der Umwelt. Die Größenverhältnisse vom Bildhöhe zu Gegenstandshöhe sind proportional zu den Abständen beziehungsweise , die jeweils von der Lochblende gemessen werden:
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Eigenschaften von Bildern einer zentrischen Streckung kann man ebenfalls mit den Strahlensätzen beschreiben (siehe auch die Abbildung 5.3.4 Kongruente und ähnliche Dreiecke).
Die gemeinsame Eigenschaft der Beispiele findet sich darin, dass Strahlen (oder Geraden) mit einem gemeinsamen Schnittpunkt von parallelen Geraden geschnitten werden.
Info 5.1.4

Strahlensätze

Vom gemeinsamen Punkt gehen zwei verschiedene Strahlen und aus, die durch die Punkte beziehungsweise verlaufen. Der Punkt liegt auf dem Strahl und liegt auf dem Strahl . Zuerst werden die Strecken zwischen den Punkten auf den beiden Strahlen betrachtet, dann auch die Strecken zwischen den Strahlen.
Für zwei Punkte  und  sei die Strecke von  nach , und bezeichne die Länge dieser Strecke.
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Wenn die Geraden  und  parallel sind, gelten die folgenden Aussagen:
  • Die Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl:
    Dies kann auch so ausgedrückt werden:
  • Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die von ausgehenden entsprechenden Abschnitte auf einem Strahl:
    Dies kann auch so ausgedrückt werden:
    wobei und gilt.
Die Aussagen der Strahlensätze gelten auch, wenn anstelle von Strahlen zwei Geraden betrachtet werden, die sich im Punkt schneiden. Als Anwendungsbeispiel ist oben eine Lochkamera genannt worden. Als Merksatz für die Strahlens|ätze kann man sich einfach einprägen.
Auf diese Weise können Entfernungen zwischen Punkten berechnet werden, ohne dass die Strecke direkt gemessen wird.
Beispiel 5.1.5
Die gegebenen Punkte , , und bestimmen die Geraden und , die sich im Punkt schneiden. Weiter ist bekannt, dass die Geraden und parallel sind. Zwischen den Punkten wurden die Abstände , und gemessen.
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Daraus wird berechnet, wie weit von entfernt ist. Wenn der gesuchte Abstand mit bezeichnet wird, gilt mit den Strahlensätzen dann
woraus
folgt.