3.3.2 Quadratische Ungleichungen
Info 3.3.4
Eine Ungleichung heißt quadratisch in , falls sie sich zu (oder mit anderen Vergleichssymbolen) umformen lässt.
Quadratische Ungleichungen kann man daher auf zwei Weisen lösen: durch Untersuchung von Nullstellen und Öffnungsverhalten des Polynoms sowie durch quadratische Ergänzung. Die quadratische Ergänzung ist meist einfacher:
Info 3.3.5
Bei der quadratischen Ergänzung wird versucht, die Ungleichung auf die Form zu bringen. Ziehen der Wurzel führt dann auf die Betragsungleichung mit der Lösungsmenge falls ist, ansonsten ist die Ungleichung unlösbar.
Bei umgekehrter Richtung der Ungleichung besitzt die Lösungsmenge . Für und sind die Randpunkte entsprechend mit aufzunehmen.
Dabei ist die Rechenregel aus Modul 1 Elementares Rechnen zu beachten.
Beispiel 3.3.6
Zu lösen sei die Ungleichung . Sortieren der Terme auf die linke Seite und Division durch ergibt . Quadratische Ergänzung zur zweiten binomischen Formel auf der linken Seite ergibt die äquivalente Ungleichung , bzw. . Ziehen der Wurzel ergibt die Betragsungleichung mit Lösungsmenge .
Andererseits kann man die Ungleichung auch wie folgt untersuchen: Die linke Seite beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen von ), deren Nullstellen man mit der -Formel erhält:
Die Ungleichung wird wegen der Öffnung nach oben von den Parabelästen links und rechts von den Nullstellen erfüllt (vergleiche die Ungleichung mit ), also von der Menge .
Info 3.3.7
Die quadratische Ungleichung (auch andere Vergleichssymbole möglich) besitzt in Abhängigkeit der Nullstellen von , der Öffnung der Parabel, sowie des Vergleichssymbol der Ungleichung eine der folgenden Lösungsmengen:
- die reellen Zahlen ,
- zwei Intervalle (bei und sind die Randpunkte jeweils mit im Intervall enthalten),
- ein Intervall (bei und sind die Randpunkte jeweils mit im Intervall enthalten),
- einen Einzelpunkt ,
- die punktierte Menge ,
- die leere Lösungsmenge .
Der folgende Lückentext beschreibt die Lösung einer quadratischen Ungleichung über die Untersuchung der Parabel:
Aufgabe 3.3.8
Zu lösen sei . Umformen ergibt die Ungleichung . Mit der -Formel findet man die Nullstellenmenge . Die linke Seite beschreibt eine nach geöffnete Parabel, sie gehört zu einer Ungleichung mit dem Vergleichssymbol , also ist die Lösungsmenge .