Onlinebrückenkurs Mathematik

3.2.2 Aufgaben

Wird mit zusammengesetzten Termen multipliziert, so ist genauer zu untersuchen, für welche die Fallunterscheidung vorgenommen werden muss:
Aufgabe 3.2.4
Untersucht werden soll die Ungleichung . Zunächst besitzt sie die Definitionsmenge , da nur für diese der Nenner zulässig ist. Für die Multiplikation mit dem Term gibt es drei Fälle. Füllen Sie den Lückentext dazu passend aus:
  1. Auf dem Intervall ist der Term positiv, das Vergleichssymbol bleibt erhalten und die neue Ungleichung lautet . Lineares Umformen ergibt die Lösungsmenge . Die Elemente der Menge erfüllen die Vorbedingung.
  2. Auf dem Intervall ist der Term negativ, das Vergleichssymbol wird gedreht. Die neue Ungleichung hat zunächst die Lösungsmenge , wegen der Vorbedingung ist aber nur die Teilmenge davon zulässig.
  3. Der Einzelwert ist keine Lösung der ursprünglichen Ungleichung, da er nicht zu der gehört.
Skizzieren Sie die Lösungsmenge der Ungleichung in einem Zahlenstrahl und markieren Sie die Randpunkte.
Auf dem Intervall ist der Term positiv mit Lösungsmenge . Auf dem Intervall ist der Term dagegen negativ, das Vergleichssymbol wird gedreht. Die neue Ungleichung hat zunächst die Lösungsmenge , wegen der Vorbedingung ist aber nur die Teilmenge davon zulässig. Insgesamt ist die Vereinigungsmenge die Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung, die Randpunkte gehören nicht dazu (z.B. ist nicht in der Definitionsmenge):
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Aufgabe 3.2.5
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist .
Die Definitionsmenge der Ungleichung ist .
  • Im Fall multipliziert man mit und erhält , was äquivalent zur falschen Aussage ist. Der erste Fall trägt nichts zur Lösungsmenge bei.
  • Im Fall multipliziert man mit und erhält , was äquivalent zur wahren Aussage ist. Wegen der Vorbedingung ist das Lösungsintervall für diesen Fall aber nur .
  • Der Einzelwert ist keine Lösung, weil er im Definitionsbereich ausgeschlossen wurde.
Die Lösungsmenge ist also insgesamt ohne die Randpunkte (auch wenn die Ursprungsungleichung mit aufgebaut war).
Aufgabe 3.2.6
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist .
Die Definitionsmenge der Ungleichung ist , da nur für diese die Wurzeln und der Nenner zulässig sind.
  • Im Fall multipliziert man mit und erhält , was äquivalent zur Aussage ist. Diese ist für erfüllt, aber diese verletzen die Fallbedingung und kommen daher nicht in die Lösungsmenge.
  • Im Fall multipliziert man mit und erhält , was äquivalent zu ist. Aber nur die aus erfüllen auch die Fallbedingung, also ist das einzige Lösungsintervall für die ursprüngliche Ungleichung.
  • Der Einzelwert ist keine Lösung, weil er im Definitionsbereich ausgeschlossen wurde.